Pré-Vestibular ⇒ (POLI) Equação Trigonométrica

[FelipeMP]

(POLI) - Sendo [tex3]x\neq n\cdot \pi [/tex3], determinar os valores do parâmetro k para que a equação [tex3]sen2x=k\cdot tgx[/tex3] admita solução.

Resposta

---

[tex3]0 < k<2[/tex3]

Fiz da seguinte forma:
[tex3]2\cdot senx\cdot cosx=k\cdot \frac{senx}{cosx}[/tex3]
[tex3]2\cdot cos²x=k[/tex3]
[tex3]cosx=\sqrt{\frac{k}{2}}[/tex3]
[tex3]-1<\sqrt{\frac{k}{2}}<1[/tex3]

E agora não sei como prosseguir. Errei algo?

Grato desde já.

[IgorAM]

Você chegou em

[tex3]cos^2(x)=\frac{k}{2}[/tex3]

como [tex3]0< cos^2(x)\leq 1[/tex3], não pode ser igual a 0 porque na equação cos(x) está dividindo sen(x)

então:
[tex3]0< \frac{k}{2}\leq 1[/tex3]
[tex3]0< k \leq 2[/tex3], o motivo de na resposta ser só menor que 2 eu não sei.

[FelipeMP]

IgorAM, amigo, k é só menor que 2 devido a uma condição que o exercício fornece. Sendo ela

[tex3]x\neq n\cdot \pi [/tex3]

[IgorAM]

Não entendi a relação da condição com o fato de não poder ser igual a 2.

[joaopcarvMOD]

Como o exercício descarta [tex3]n \ . \ \pi[/tex3], não precisamos fazer a análise de [tex3]x \ \neq \ \frac{\pi}{2} \ + \ k \ . \pi[/tex3]...

[tex3]sen(2 \ . \ x) \ = \ K \ . \ tg(x)[/tex3]

[tex3]2 \ . \ sen(x) \ . \ cos(x) \ = \ K \ . \ \frac{sen(x)}{cos(x)}[/tex3]

[tex3]2 \ . \ sen(x) \ . \ cos(x) \ - \ K \ . \ \frac{sen(x)}{cos(x)} \ = \ 0[/tex3]

[tex3]sen(x) \ . \ (2 \ . \ cos(x) \ - \ \frac{K}{cos(x)}) \ = \ 0[/tex3]

Mas [tex3]sen(x) \ \neq \ 0[/tex3], porque [tex3]x \ \neq \ n \ . \ \pi[/tex3] (ou seja, não conta [tex3]0 \ rad[/tex3], [tex3]2 \ . \ \pi \
rad[/tex3], [tex3]20 \ . \ \pi \ rad[/tex3], etc...)

[tex3]2 \ . \ cos(x) \ - \ \frac{K}{cos(x)} \ = \ 0[/tex3]

[tex3]2 \ . \ cos(x)^2 \ = \ K[/tex3]

[tex3]cos(x)^2 \ = \ \frac{K}{2}[/tex3]

Mas como [tex3]x \ \neq \ n \ . \ \pi[/tex3], [tex3]cos(x)^2 \ \neq \ 0[/tex3] e [tex3]cos(x)^2 \ \neq \ 1[/tex3], ou seja, a fração não pode dar nem [tex3]0[/tex3], nem [tex3]1[/tex3] e nem um valor menor que [tex3]0[/tex3] ou maior que [tex3]1[/tex3] (casos absurdos).

Ou seja, [tex3]0 \ < \ cos(x)^2 \ < \ 1[/tex3], pois [tex3]x \ \neq \ n \ . \ \pi[/tex3]

[tex3]0 \ < \ \frac{K}{2} \ \rightarrow \ K \ > \ 0[/tex3]

[tex3]\frac{K}{2} \ < \ 1 \rightarrow \ K \ < \ 2[/tex3]

Por isso, [tex3]0 \ < \ K \ < 2[/tex3]

Agora, não sei bem se esta é a análise perfeita