Ensino Médio ⇒ Diferença de Volume - Cubo e Pirâmide Trirretângular Tópico resolvido

[ismaelmat]

55.498-A figura ao lado representa um cubo de aresta 6 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] cm. Retirando-se desse cubo a pirâmide FBGE, qual é a área total do poliedro remanescente?

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Resposta

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36(9 + [tex3]\sqrt{3}[/tex3]) cm²

[leomaxwell]

Olá,
A área total do cubo é [tex3]A_{total}=6(6\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2})=432cm^2[/tex3]
Agora, perceba que todos os lados da pirâmide que estão expostos são iguais, portanto suas áreas são iguais, logo:
[tex3]A_{piramide}=3\cdot\frac{6\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2}}{2}=\frac{3\cdot36\cdot2}{2}=108cm^2[/tex3]
Perceba também que quando a pirâmide for retirada, aparecerá uma outra face no poliedro remanescente, que equivale a base EGB da pirâmide.
O triângulo EGB é equilátero, portanto sua área pode ser calculada por:
[tex3]A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3], em que [tex3]l[/tex3] é a diagonal da face do cubo
[tex3]A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]A=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}[/tex3]

Portanto, a área final será:
[tex3]A_f=432-108+36\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]A_f=324+36\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]A_f=36(9+\sqrt{3})cm^2[/tex3]