IME / ITA ⇒ (IME) Elipse Tópico resolvido

[undefinied3]

Dá-se uma elipse de vértices [tex3]A_1[/tex3] e [tex3]A_2[/tex3], definida por [tex3]A_1A_2[/tex3] = eixo focal, [tex3]B_1B_2[/tex3] = eixo não focal. Sejam [tex3]F_1[/tex3] e [tex3]F_2[/tex3] os focos da elipse, e uma tangente à elipse em um ponto M qualquer (M diferente de [tex3]A_1[/tex3] e [tex3]A_2[/tex3]). Essa tangente é cortada nos pontos [tex3]T_1[/tex3] e [tex3]T_2[/tex3], respectivamente, pelas tangentes à elipse nos vértices [tex3]A_1[/tex3] e [tex3]A_2[/tex3]. Mostre que o quadrilátero [tex3]T_1F_1F_2T_2[/tex3] é inscritível e que o produto [tex3]A_1T_1.A_2T_2[/tex3] é constante.

[jrneliodias]

Olá, jovem.

Desenhada uma elipse de focos [tex3]A[/tex3] e [tex3]D[/tex3], eixo principal [tex3]2a[/tex3], eixo secundário [tex3]2b [/tex3], distância focal [tex3]2c [/tex3] e o ponto [tex3]G[/tex3] pertencente a elipse, temos



Fato 1: A bissetriz externa do triângulo [tex3]ADG[/tex3] é a tangente a elipse pelo ponto [tex3]G[/tex3].

Demonstração:

elipse1.PNG (26.18 KiB) Exibido 2598 vezes

Tomado o ponto [tex3]K[/tex3], simétrico a [tex3]A[/tex3] em relação ao bissetriz [tex3]b[/tex3], observamos que [tex3]\triangle KGJ\equiv \triangle JAG[/tex3], então temos [tex3]AG\equiv KG[/tex3] e [tex3]KF\equiv AF[/tex3]. Suponhemos que a bissetriz não é a tangente e [tex3]F[/tex3] pertença a elipse, então, pela desiguadade triangular,

[tex3]KF+FD>KD=KG+GD=AG+GD=2a\,\,\,\Rightarrow\,\,\,KF+FD>2a[/tex3]

Ou seja, [tex3]AF+FD>2a[/tex3]

Logo, [tex3]F[/tex3] não pertence a elipse. Como [tex3]G[/tex3] é o único ponto da bissetriz que pertence a curva, então a bissetriz [tex3]b[/tex3] é a tangente pelo ponto [tex3]G[/tex3].

Esse fato nos dá também que o ponto simétrico do foco em relação a tangente, o ponto de tangência e o outro foco são colineares.





Fato 2: Chamado por alguns professores brasileiros de "Teorema de Poncelet", mas não achei algo na internet que pudesse usar como fonte, usa o fato que os ângulos formados pelas tangentes que partem de um ponto externo e pelas retas que partem desse ponto aos focos são congruentes.

Capturar.PNG (30.77 KiB) Exibido 2598 vezes

[tex3]JF[/tex3] e [tex3]FH[/tex3] são as tangentes a elipse pelos pontos [tex3]G[/tex3] e [tex3]H[/tex3].

[tex3]I[/tex3] e [tex3]K[/tex3] são os pontos simétricos aos focos em relação as tangentes.

Da demonstração anterior, temos que [tex3]KF\equiv AF[/tex3] e [tex3]DF\equiv IF[/tex3]. Dessa forma, [tex3]\triangle FKG\equiv \triangle FAG[/tex3] e [tex3]\triangle FDH\equiv \triangle FHI[/tex3].

Assim, [tex3]\triangle FKD\equiv \triangle FAI[/tex3], pois [tex3]FK\equiv AF[/tex3], [tex3]FD\equiv IF[/tex3] e

[tex3]KD \,\,=\,\, KG + GD\,\,=\,\, AG+GD\,\,=\,\,2a\,\,=\,\,AH+DH\,\,=\,\,AH+HI\,\,=\,\, AI[/tex3]

Portanto,

[tex3]\angle KFD\equiv\angle AFI \,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\alpha = \theta[/tex3]

[tex3]\angle FKG\equiv \angle FKD\equiv\angle FAI \,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\sigma = \beta[/tex3]

[tex3]\angle FKD\equiv\angle FID\equiv \angle FDI \,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\lambda = \delta[/tex3]



Com esses resultados, podemos ver que na questão temos,

we.PNG (33.33 KiB) Exibido 2598 vezes

[tex3]\angle\, T_1T_2F_1\equiv \angle \,F_2 T_2A_2 [/tex3]

[tex3]\angle\, MF_2T_2\equiv \angle \,T_2 F_2A_2 [/tex3]

[tex3]\angle\, MT_1F_2\equiv \angle \,F_1 T_1A_1 [/tex3]

[tex3]\angle\, T_1F_1A_1\equiv \angle \, T_1F_1M [/tex3]

[tex3]\angle\, MF_1T_2\equiv \angle \, T_2F_1 A_2[/tex3]


Diante disso,

[tex3]\alpha +\delta = 90º-\theta [/tex3]


[tex3]\angle\, F_1T_1T_2+ \angle \, F_1F_2T_2=90º-\theta +90º +\theta=180º [/tex3]

Assim, o quadrilátero [tex3]T_1F_1F_2T_2 [/tex3] é inscritível.


Além disso, [tex3]\triangle\, T_1F_2A_1\sim \angle \, T_2A_2F_2 [/tex3], então

[tex3]\frac{ T_1A_1}{A_1F_2}=\frac{F_2A_2}{ T_2F_2 }[/tex3]

[tex3]T_1A_1\cdot T_2A_2\,\,=\,\,A_1F_2\cdot A_2F_2 \,\,=\,\,(c+a)(c-a)\,\,=\,\,c^2-a^2\,\,=\,\,b^2 [/tex3]

Portanto, [tex3]T_1A_1\cdot T_2A_2 [/tex3] é constante.



Acho difícil alguém ter feito esssa questão na hora, pois acredito que deveria ser feita essa resolução.


Espero ter ajudado. Abraço.

[undefinied3]

Questão pesada mesmo se não tiver ido pra prova com as relações decoradas. Só sabia da bissetriz ser a tangente, mas só ela não é suficiente, o outro lema que você usou também é necessário e eu não conhecia. Fantástica resolução, sucinta e elegante. Muito obrigado