Olimpíadas ⇒ Iniciação à Aritmética - OBMEP Tópico resolvido

[leomaxwell]

Problema 1.5. Usando a propriedade de compatibilidade da adição com a ordem e a transitividade da ordem, mostre que:
Se [tex3]a< b[/tex3] e [tex3]c< d[/tex3], então [tex3]a+c< b+d[/tex3].
Vale a recíproca?

A ida fiz assim:
[tex3]a< b \Rightarrow a+c < b+ c[/tex3] e [tex3]c < d \Rightarrow c + b < d + b[/tex3], que pela propriedade comutativa, poderá ser escrita como [tex3]b+c < b + d[/tex3]
Finalmente, comparando as duas inequações obtidas, temos:
[tex3]a+ c < b+c[/tex3] e [tex3]b+c < b+d \Rightarrow a+c < b + d[/tex3]

Agora, como faço para provar a volta?? Sem utilizar a subtração, pois não foi mencionada na apostila ainda
Obrigado desde já!

[Superaks]

Não vale a volta

Contra exemplo :

2 + 3 < 4 + 2

2 < 4, mas 3 > 2

Ou

3 < 4, mas 2 = 2

[leomaxwell]

Não vale a volta

Contra exemplo :

2 + 3 < 4 + 2

2 < 4, mas 3 > 2

Ou

3 < 4, mas 2 = 2

Entendi, obrigado!