Ensino Superior ⇒ Reta tangente ao gráfico de f Tópico resolvido

[gabi2014]

Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de f(x)= 2x³+ 3x² e paralela a reta y= 12x-5. Determine r.

Tentei fazer e ficou assim:
[tex3]f(x)=2x^{3}+3x^{2}[/tex3]
[tex3]f'(x)=6x^{2}+6x[/tex3]
[tex3]f'(x)=\pm 1[/tex3]

f(1)= [tex3]6x^{2}+6x[/tex3]
[tex3]f(1)=6(1)^{2}+6(1)=12[/tex3]

Ponto de tangência (1,12)

[tex3]r:12=\left(\frac{y-12}{x-1}\right)[/tex3]
[tex3]r:12x-12=y-12[/tex3]
[tex3]r:12x=y[/tex3]

Se x= -1
[tex3]f(-1)=6x^{2}+6x[/tex3]
[tex3]f(-1)=6(-1)^{2}+6(-1)[/tex3]
[tex3]f(-1)=6(1)-6=0[/tex3]

[tex3]r:12=\left(\frac{y+12}{x-1}\right)[/tex3]
[tex3]r:12x-12=y+12[/tex3]
[tex3]r:12x-12-12=y[/tex3]
[tex3]r:12x-24=y[/tex3]

[ALANSILVA]

A resposta é [tex3]y=12x-7[/tex3]
Confirma???

[gabi2014]

Não tenho o gabarito... Fiz uma prova hoje com essa questão. Gostaria de saber se errei, e onde teria sido o erro...

[ALANSILVA]

Para que as retas sejam paralelas é preciso que o coeficiente angular seja o mesmo.
na reta [tex3]y=12x-5[/tex3] o coeficiente angular é 12 , a derivada de f'(x) deve ser igual a 12
f'(x)=6x²+6x
12=6x²+6x
encontramos x=1 ou x=-2
com x=1 f(1)=5
com x=-2 f(-2)=-4

Esses são os pontos de tangência
Para encontrar r fiz por vetores
[tex3]n=(-12,1)[/tex3] é perpendicular a reta [tex3]y=12x-5[/tex3] e também a reta r, sabendo que r // y=12x-5
Então r é do tipo -12x+y=c
Como os pontos de tangência são (1,5) e (-2,-4) teremos duas retas
r:
-12.1+5=c
c=-7
Então [tex3]r: -12x+y=-7[/tex3]

[Superaks]

Depois de derivada você igualou f(x) a ± 1. Pode explicar essa parte ?

Resolvendo

Como r é paralela a y = 12x -5, então seus coeficiente angulares são iguais, ou seja, 12

Derivando f(x)

f'(x) = 6x² + 3x

A derivada de f(x) nos dá o coeficiente angular das retas tangentes em algum ponto (x, y)

Igualando a derivada a 12 para encontrar as coordenadas

6x² + 6x = 12

x² + x - 2 = 0

As soluções são 1 e - 2

Para x = 1, temos

f(1) = 2 . (1)^3 + 3 . (1)^2 = 5

Encontrando a reta r no ponto (1, 5)


r : 12 = (y - 5)/(x - 1)

r : 12x - 12 = y - 5

r : 12x - 7 = y

Para x = - 2, temos

f(-2) = 2 . (-2)^3 + 3 . (-2)^2 = - 4

O outro ponto de tangência é (- 2, - 4)


r : 12 = (y + 4)/(x + 2)

r : 12x + 24 = y + 4

r : 12x + 20 = y

Portanto existem 2 retas paralelas a y = 12x - 5 e que são tangentes a curva f(x)

[ALANSILVA]

Superaks,
É isso aí mesmo!
Eu não fiz a outra reta pelo avançar da hora estava cansado e fui dormir, seria bom a gabi2014 tentar fazer outra reta...rsrsrs...abraços