Concursos Públicos ⇒ Seqüências Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

(Magistério - Prefeitura Municipal de Duque de Caxias - 2002)

Considere a seqüência não-decrescente de inteiros positivos:

• [tex3]1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \ldots[/tex3]

na qual cada inteiro positivo [tex3]n[/tex3] aparece exatamente [tex3]n[/tex3] vezes. Qual é o resto da divisão por [tex3]5[/tex3] do [tex3]2002^\circ[/tex3] termo dessa seqüência?

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]2[/tex3]
d) [tex3]3[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]

[Daniel Hartmann]

Olá paulo testoni. Meu método de resolução exigiu o uso de uma calculadora (ou então de outro método de extração de raiz quadrada, como o Método Babilônio)... Vamos à solução então:

O número [tex3]1[/tex3] ocupa o [tex3]1^\circ[/tex3] termo; o número [tex3]2[/tex3] ocupa o [tex3]2^\circ[/tex3] e o [tex3]3^\circ[/tex3] termos; o número [tex3]3[/tex3] aparece do [tex3]4^\circ[/tex3] ao [tex3]6^\circ[/tex3] termo; o número [tex3]4[/tex3] surge do [tex3]7^\circ[/tex3] ao [tex3]10^\circ[/tex3] termo; o [tex3]5[/tex3] aparece do [tex3]11^\circ[/tex3] ao [tex3]15^\circ[/tex3] termo; e assim por diante. Se analisarmos bem a posição dos termos, podemos concluir que o número [tex3]n[/tex3] aparecerá do [tex3]S_{n-1} + 1^\circ[/tex3] ao [tex3]S_n^\circ[/tex3] termo, sendo [tex3]S_{n-1}[/tex3] e [tex3]S_n[/tex3] a soma dos [tex3](n-1)[/tex3] e dos [tex3]n[/tex3] primeiros números inteiros positivos, respectivamente. Escrevendo numa linguagem mais matemática:

[tex3]S_{n-1}+1 \leq k \leq S_n,[/tex3]

sendo [tex3]k[/tex3] a posição do termo na seqüência [tex3](1^\circ , 2^\circ , 3^\circ , \ldots, k^\circ).[/tex3] Para resolvermos o problema precisamos conhecer (obviamente...) o valor do [tex3]2002^\circ[/tex3] termo. Portanto:

[tex3]S_{n-1}+1 \leq 2002 \leq S_n[/tex3]

Lembrando que a soma desses números pode ser escrita como a soma dos termos de uma PA, cujos primeiro e último termos são, respectivamente, [tex3]1[/tex3] e [tex3]n:[/tex3]

[tex3]\frac{[1+(n-1)].(n-1)}{2}+1 \leq 2002 \leq \frac{(1+n).n}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{n^2-n+2}{2} \leq 2002 \leq \frac{n^2+1}{2}[/tex3]

Aplicando [tex3]\text{mmc}[/tex3] (2):

[tex3]n^2-n+2 \leq 4004 \leq n^2 + n[/tex3]

Podemos agora desmembrar essa desigualdade num sistema de inequações:

[tex3]\begin{cases}n^2-n+2 \leq 4004 \\ n^2 + n \geq 4004 \end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}{c}n^2-n-4002 \leq 0 \\ n^2 + n - 4004 \geq 0 \end{cases}[/tex3]

Basta agora resolver essas inequações, encontrando as raízes das equações correspondentes (foi nesse passo que precisei usar uma calculadora). Lembrando que [tex3]n \gt 0[/tex3], temos os seguintes valores para [tex3]n:[/tex3]

Inequação 1: [tex3]0 \lt n \leq 63,76[/tex3]

Inequação 2: [tex3]n \geq 62,77[/tex3]

Sabendo que [tex3]n[/tex3] deve ser um número inteiro e positivo, tal que [tex3]n[/tex3] esteja entre [tex3]62,77[/tex3] e [tex3]63,76,[/tex3] conclui-se que o valor de [tex3]n[/tex3] é [tex3]63[/tex3] (esse é o número que ocupará a [tex3]2002[/tex3] ª posição na seqüência dada). Então, o resto da divisão de [tex3]63[/tex3] por [tex3]5[/tex3] é [tex3]3.[/tex3]

Se você não entendeu alguma coisa é só perguntar!

Espero tê-lo ajudado!!

Até mais!

[paulo testoniMOD]

Hola.

Vamos facilitar um pouco.

Note que a quantidade de números é uma PA de 1º termo 1 e razão 1. A soma dos termos é dado por:

[tex3]2002=\frac{(1+n)*n}{2}\\
n^2 + n - 4004=0\\

n=62,779[/tex3]

isto significa que na sequência 62, 62, ........62, ao se chegar no último termo 62 ainda não se chegou no 2002º termo

Logo o 2002º termo só pode ser 63.

Portanto: [tex3]\frac{63}{5}= 12 \,\,com\,\,resto\,\,3[/tex3]