Ensino Médio ⇒ Volume- Pirâmide - Altura e Apótema

[ismaelmat]

66.498 - O apótema e a altura de uma pirâmide hexagonal regular medem [tex3]2 \sqrt{43}[/tex3] cm e [tex3]8[/tex3] cm, respectivamente. Calcule o volume dessa pirâmide.

Resposta

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Gabarito: [tex3]96 \sqrt{3}[/tex3] cm³

[petrasMOD]

@ismaelmat,
Gabarito errado.
O apótema da pirâmide (g), a altura (h) e o apótema da base (m) formam um triângulo retângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras: [tex3]g^2 = h^2 + m^2 \implies (2\sqrt{43})^2 = 8^2 + m^2\\172 = 64 + m^2 \implies m^2 = 108 \implies m = 6\sqrt{3}[/tex3].
Em um hexágono regular, o apótema da base (m) é a altura de um dos seis triângulos equiláteros que o compõem: [tex3]m = \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies6\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\\6 = \frac{a}{2} \implies a = 12[/tex3]
A base é composta por 6 triângulos equiláteros: [tex3]A_b = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{144\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot 36\sqrt{3} = 216\sqrt{3} \\
V = \frac{1}{3} A_b.h=\frac{1}{3}\cdot 216\sqrt{3} \cdot 8 = 72\sqrt{3} \cdot 8\\\boxed{V = 576\sqrt{3}cm^3} [/tex3]