Ensino Médio ⇒ Somatório de Fatoriais Tópico resolvido

[leomaxwell]

Uma questão que achei interessante no meu livro :

Calcule o valor de [tex3]S=3\cdot1! - 4\cdot2!+5\cdot3!-...+(k+2)k![/tex3], onde [tex3]k[/tex3] é ímpar!

Resposta

---

[tex3]S=(k+1)!+1[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, jovem.

Temos que

[tex3]\text{S}=\sum_{k=1}^k\,(-1)^{k-1}(k+2)k!\,\,=\,\,\sum_{k=1}^k\,(-1)^{k-1}[(k+1)! +k!][/tex3]

Então,

[tex3]\text{S}=[\,2!-1!\,]-[\,3!-2!\,]+[\,4!-3!\,]-\,\,\cdots\,\,+\,\,(-1)^{par -1}[\,k!-(k-1)!\,]\,\,+\,\,(-1)^{impar -1}[\,(k+1)!-k!\,][/tex3]

[tex3]\text{S}=[\,2!-1!\,]-[\,3!-2!\,]+[\,4!-3!\,]-\,\,\cdots\,\,-\,\,[\,k!-(k-1)!\,]\,\,+\,\,[\,(k+1)!-k!\,][/tex3]

[tex3]\text{S}=(k+1)!-1[/tex3]

Espero ter ajudado. Abraço.

[joaopcarvMOD]

Olá, jovem.

Temos que

[tex3]\text{S}=\sum_{k=1}^k\,(-1)^{k-1}(k+2)k!\,\,=\,\,\sum_{k=1}^k\,(-1)^{k-1}[(k+1)! +k!][/tex3]

Então,

[tex3]\text{S}=[\,2!-1!\,]-[\,3!-2!\,]+[\,4!-3!\,]-\,\,\cdots\,\,+\,\,(-1)^{par -1}[\,k!-(k-1)!\,]\,\,+\,\,(-1)^{impar -1}[\,(k+1)!-k!\,][/tex3]

[tex3]\text{S}=[\,2!-1!\,]-[\,3!-2!\,]+[\,4!-3!\,]-\,\,\cdots\,\,-\,\,[\,k!-(k-1)!\,]\,\,+\,\,[\,(k+1)!-k!\,][/tex3]

[tex3]\text{S}=(k+1)!-1[/tex3]

Espero ter ajudado. Abraço.