IME / ITA ⇒ (AFA - 1997) Equação Exponencial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O produto das raízes da equação [tex3]\(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\,\)^x+\(\sqrt{{2}-{\sqrt3}}\,\)^x=4[/tex3] pertence ao conjunto dos números:

a) naturais e é primo.
b) inteiros e é múltiplo de quatro.
c) complexos e é imaginário puro.
d) racionais positivos e é uma fração imprópria.

Resposta:

---

(b)

[edu_landim]

[tex3]\left(\sqrt{{2}+\sqrt3}\right)\,\cdot\,\left(\sqrt{{2}-\sqrt3}\right)\,=\,1[/tex3]

Assim podemos reescrever a equação como

[tex3]\left(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\right)^x\,+\,\left(\frac{1}{\sqrt{{2}+{\sqrt3}}}\right)^x=4[/tex3]

Tomando [tex3]\left(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\right)^x\,=\,m[/tex3] com [tex3]m\,>\,0[/tex3] temos

[tex3]m\,+\,\frac{1}{m}\,=\,4[/tex3]

[tex3]m^2\,+\,1\,=\,4m[/tex3]

[tex3]m^2\,-\,4m\,+\,1\,=\,0[/tex3]

O que nos conduz a [tex3]m\,=\,2\,+\,\sqrt{3}[/tex3] (I) ou [tex3]m\,=\,2\,-\,\sqrt{3}[/tex3] (II)

Analisando (I) temos

[tex3]\left(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\right)^x\,=\,2\,+\,\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\left({2}+{\sqrt3}\right)^{\left(\frac{x}{2}\right)}\,=\,2\,+\,\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}\,=\,1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x\,=\,2[/tex3]

Analisando (II) temos

[tex3]\left(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\right)^x\,=\,2\,-\,\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\left({2}+{\sqrt3}\right)^{\left(\frac{x}{2}\right)}\,=\,\left(2\,+\,\sqrt{3}\right)^{-1}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}\,=\,-\,1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x\,=\,-\,2[/tex3]

O produto das raízes resulta em [tex3]2\,\cdot(-\,2)\,=\,-\,4[/tex3]

[brunoafa]

[tex3]\left(\sqrt{{2}+\sqrt3}\right)\,\cdot\,\left(\sqrt{{2}-\sqrt3}\right)\,=\,1[/tex3]

Assim podemos reescrever a equação como

[tex3]\left(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\right)^x\,+\,\left(\frac{1}{\sqrt{{2}+{\sqrt3}}}\right)^x=4[/tex3]

Tomando [tex3]\left(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\right)^x\,=\,m[/tex3] com [tex3]m\,>\,0[/tex3] temos

[tex3]m\,+\,\frac{1}{m}\,=\,4[/tex3]

[tex3]m^2\,+\,1\,=\,4m[/tex3]

[tex3]m^2\,-\,4m\,+\,1\,=\,0[/tex3]

O que nos conduz a [tex3]m\,=\,2\,+\,\sqrt{3}[/tex3] (I) ou [tex3]m\,=\,2\,-\,\sqrt{3}[/tex3] (II)

Analisando (I) temos

[tex3]\left(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\right)^x\,=\,2\,+\,\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\left({2}+{\sqrt3}\right)^{\left(\frac{x}{2}\right)}\,=\,2\,+\,\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}\,=\,1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x\,=\,2[/tex3]

Analisando (II) temos

[tex3]\left(\sqrt{{2}+{\sqrt3}}\right)^x\,=\,2\,-\,\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\left({2}+{\sqrt3}\right)^{\left(\frac{x}{2}\right)}\,=\,\left(2\,+\,\sqrt{3}\right)^{-1}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{2}\,=\,-\,1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x\,=\,-\,2[/tex3]

O produto das raízes resulta em [tex3]2\,\cdot(-\,2)\,=\,-\,4[/tex3]

Upando o tópico cinco anos depois,mas enfim...

Alguém poderia me explicar como chegar nessas raízes [tex3]2+\sqrt3[/tex3] e [tex3]2-\sqrt3[/tex3]?? Como ele aplicou isso na fórmula de bhaskara?

[manerinhu]

[tex3]m^2\,-\,4m\,+\,1\,=\,0[/tex3]

[tex3]am^2 + bm + c = 0[/tex3]
[tex3]m =\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/tex3]
em que
[tex3]a = 1, b = -4, c = 1[/tex3]

[tex3]m = \frac{4 \pm \sqrt{16-4*1*1}}{2*1} = \frac{4\pm\sqrt{12}}{2} = \frac{4\pm\sqrt{4*3}}{2} = \frac{4\pm2\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{3}}{1} = {2\pm\sqrt{3}}[/tex3]

ai como ele chamou [tex3]m = 2+\sqrt{3}[/tex3], basta ver que [tex3](2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 1[/tex3]

[BrunoCFS]

Alguém poderia me explicar como ele passou disso:
[tex3]\left(\sqrt{{2}-\sqrt3}\right)[/tex3]

Para isso:
[tex3]\frac{1}{\left(\sqrt{{2}+\sqrt3}\right)}[/tex3]


Obrigado !

[brunoafa]

Alguém poderia me explicar como ele passou disso:
[tex3]\left(\sqrt{{2}-\sqrt3}\right)[/tex3]

Para isso:
[tex3]\frac{1}{\left(\sqrt{{2}+\sqrt3}\right)}[/tex3]


Obrigado !

Também não entendi.Quando expoente é negativo tudo bem,eu compreendo.Mas nele caso ele substituiu uma subtração por uma soma!

[brunoafa]

[tex3]m^2\,-\,4m\,+\,1\,=\,0[/tex3]

[tex3]am^2 + bm + c = 0[/tex3]
[tex3]m =\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/tex3]
em que
[tex3]a = 1, b = -4, c = 1[/tex3]

[tex3]m = \frac{4 \pm \sqrt{16-4*1*1}}{2*1} = \frac{4\pm\sqrt{12}}{2} = \frac{4\pm\sqrt{4*3}}{2} = \frac{4\pm2\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{3}}{1} = {2\pm\sqrt{3}}[/tex3]

ai como ele chamou [tex3]m = 2+\sqrt{3}[/tex3], basta ver que [tex3](2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 1[/tex3]

Na hora de tirar o 2 da raiz ele não deveria passar multiplicando com o quatro? E como o quatro sumiu? Ele não poderia nem mesmo ter sido simplificado com o denominador...

[Auto Excluído (ID:8010)]

brunoafa ^você está confundindo alguns detalhes. Vou fazer de outro jeito para não confundir:

[tex3]m^2\,-\,4m\,+\,1\,=\,0\Leftrightarrow m^2-4m+4-3=0\Rightarrow[/tex3]
[tex3]m^2-4m+4=3\Leftrightarrow (m-2)^2=3\Rightarrow m-2=\pm \sqrt{3}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{m=2\pm \sqrt{3}}[/tex3]

[brunoafa]

brunoafa ^você está confundindo alguns detalhes. Vou fazer de outro jeito para não confundir:

[tex3]m^2\,-\,4m\,+\,1\,=\,0\Leftrightarrow m^2-4m+4-3=0\Rightarrow[/tex3]
[tex3]m^2-4m+4=3\Leftrightarrow (m-2)^2=3\Rightarrow m-2=\pm \sqrt{3}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{m=2\pm \sqrt{3}}[/tex3]

Assim eu entendi,só que eu não consigo visualizar isso na equação.Mas obrigado pela ajuda!

[BrunoCFS]

E a minha dúvida ?