Pré-Vestibular ⇒ USCS Medicina 2016 Tópico resolvido

[FefeAmaro]

Oito amigos serão sorteados, aleatoriamente, para compor duas equipes, uma com cinco e a outra com três integrantes, que se enfrentarão numa gincana. Dois amigos, Leo e Lucas, gostariam de estar na mesma equipe. E mais, gostariam que Dênis, um rival de Lucas, fosse sorteado para a equipe adversária. Sabendo que a ordem de escolha dos integrantes de cada equipe não importa, a probabilidade de o desejo dos dois amigos se concretizar é:
RESPOSTA: 15/56

[danjr5]

Oito amigos serão sorteados, aleatoriamente, para compor duas equipes, uma com cinco e a outra com três integrantes, que se enfrentarão numa gincana. Dois amigos, Leo e Lucas, gostariam de estar na mesma equipe. E mais, gostariam que Dênis, um rival de Lucas, fosse sorteado para a equipe adversária. Sabendo que a ordem de escolha dos integrantes de cada equipe não importa, a probabilidade de o desejo dos dois amigos se concretizar é:
RESPOSTA: 15/56

Olá FefeAmaro!

Dividamos a resolução em dois casos: Léo e Lucas na equipe com cinco integrantes e Dênis na outra equipe; Léo e Lucas na equipe com três integrantes e Dênis na rival.

CASO I: Léo e Lucas na equipe com cinco...

Determinemos a quantidade total de equipes possíveis da seguinte forma:

Decisão (d): combinar, na equipe com cinco, oito integrantes entre si, [tex3]\mathbf{n(d) = C_{8, 5}}[/tex3].

obs.: se preferir, pode combinar oito integrantes na equipe com três; o relevante é você contar apenas em uma equipe, afinal, cada 'restante' irá formar apenas uma equipe.

Daí,

[tex3]\mathsf{C_{8, 5} = \frac{8!}{5!(8 - 5)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!3!} = 8 \cdot 7 = \boxed{56}}[/tex3]


Por conseguinte, devemos determinar a quantidade de equipe que podem ser formadas atendendo os desejos dos amigos. Segue,

Decisão 1 (d1): colocar Léo na equipe, [tex3]\mathbf{n(d_1) = 1}[/tex3];
Decisão 2 (d2): colocar Lucas na equipe, [tex3]\mathbf{n(d_2) = 1}[/tex3];
Decisão 3 (d3): combinar os demais integrantes entre si, desde que não sejam os escolhidos em d1 e d2 e o Dênis, [tex3]\mathbf{n(d_3) = C_{5, 3}}[/tex3].

Portanto, pelo PFC:

[tex3]\mathsf{1 \cdot 1 \cdot C_{5, 3} = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!2!} = 5 \cdot 2 = \boxed{10}}[/tex3]

Desse modo, aplicando a definição de probabilidade, temos: [tex3]\boxed{\mathbf{\frac{10}{56}}}[/tex3].


De modo análogo,

CASO II: Léo e Lucas na equipe com três...

Determinemos a quantidade total de equipes:

Decisão (d): combinar, na equipe com três, oito integrantes entre si, [tex3]\mathbf{n(d) = C_{8, 3}}[/tex3].

obs.: se preferir, pode combinar oito integrantes na equipe com cinco; o importante é você contar apenas em uma equipe, afinal, cada integrante que sobrar, irá formar a outra equipe.

Logo,

[tex3]\mathsf{C_{8, 3} = \frac{8!}{3!(8 - 3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3!5!} = 8 \cdot 7 = \boxed{56}}[/tex3]


Ademais, devemos encontrar quantas equipes podem ser formadas a partir dos desejos dos amigos.

Decisão 1 (d1): colocar Léo na equipe, [tex3]\mathbf{n(d_1) = 1}[/tex3];
Decisão 2 (d2): colocar Lucas na equipe, [tex3]\mathbf{n(d_2) = 1}[/tex3];
Decisão 3 (d3): combinar os demais integrantes entre si, desde que não sejam os escolhidos em d1 e d2 e o Dênis, [tex3]\mathbf{n(d_3) = C_{5, 1}}[/tex3].

Portanto, pelo PFC:

[tex3]\mathsf{1 \cdot 1 \cdot C_{5, 1} = \frac{5!}{1!(5 - 1)!} = \frac{5 \cdot 4!}{1!4!} = \boxed{5}}[/tex3]

Com isso, temos que: [tex3]\boxed{\mathbf{\frac{5}{56}}}[/tex3]


Por fim, pelo princípio aditivo, concluímos que:

[tex3]\\ \mathsf{\frac{10}{56} + \frac{5}{56} =} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{15}{56}}}}[/tex3]