Olimpíadas ⇒ Desafio Global do Conhecimento - IME (Teoria dos números) Tópico resolvido

[Andre13000]

Resolva a seguinte equação nos inteiros:

[tex3]x!+y!+z!=x!\cdot y![/tex3]

[Superaks]

Olá André.

x! + y! + z! é pelo menos 3, pois 0! = 1

Então x! . y! >= 3 (não seria possível também)

Então x! . y! >= 4 (2! . 2!)

Vamos supor que x = y

2x! + z! = (x!)^2

x! . (x! - 2) = z!

x! > 2

Note que x! divide z!

(x! - 2) = z . (z - 1) * ... * (x + 1)

mdc(x!, x! - 2) = (x! - x! + 2, x! - 2) = (2, x! - 2)

Como o mdc entre x! e x! - 2 é 2, o produto [z * ... * (x + 1)], só pode ser no máximo o produto de 3 consecutivos. Pois se fosse 4 por exemplo, então 8 iria dividir z * ... * (x + 1) e portanto dividiria x! - 2,

Caso 1:

x! - 2 = x + 1

x . [(x - 1)! - 1] = 3

x = 1 ou x = 3, mas x! > 2, então x só pode ser 3

3! . [3! - 2] = 3! . 4 = 4!

Então (x, y, z) = (3, 3, 4) é uma solução


Caso 2:

x! - 2 = (x + 1)(x + 2)

x . [(x - 1)! - x - 3] = 4

Unica opção é x = 4

4! . [4! - 2] = 4! . [22] <- Não tem solução

Caso 3:

x! - 2 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)

x . [(x - 1)! - ...] = 8

x = 8

8! . [8! - 2] = 8! . [40.318]

9 Não divide 4 + 3 + 1 + 8 = 16, logo não tem solução

Suponha agora que x > y

x! + y! + z! = x! . y!

y! divide x!, então y! divide z!

y! <= z!

Se y = z, temos

2y! = x! . (y! - 1)

Então y! - 1 divide 2y!, mas y! - 1 é primo com y!, logo y! - 1 divide 2

y! - 1 = 1 ou y! - 1 = 2 < (não é possível)

y! = 2 -> y = 2

x! + 4 = 2x!

x! = 4 Não tem solução

Então z > y.

Se z > x

z! = x! . (y! - 1) - y!

x! diviide z!, logo, x! divide x! . (y! - 1) - y!, então x! divide y! o que é um absurdo, pois x > y.

Então x > z > y

z! = x! . (y - 1) - y!

Mas então z! divide x!, logo z! divide y! o que é um absurdo ! Então não existe outras soluções diferentes de (x, y, z) = (3, 3, 4)

[Andre13000]

Solução um pouco mais rápida:

[tex3]x!+y!+z!=x!y![/tex3]

Suponha SPG que [tex3]y\geq x[/tex3]. Agora suponha que [tex3]y> z[/tex3]

[tex3]x!y!<3y!\to x!< 3[/tex3]

Claramente esse caso não é possível, então vamos para este aqui [tex3]z\geq y\geq x[/tex3]

[tex3]x!+y!+z!=x!y!\\
z!=x!(y!-1)-y![/tex3]

Aqui temos que [tex3]y![/tex3] certamente divide [tex3]z![/tex3], então divide [tex3]x!(y!-1)[/tex3], mas como é primo com [tex3](y!-1)[/tex3], então divide [tex3]x![/tex3], ou seja [tex3]y!\leq x![/tex3], mas a gente supôs que [tex3]y!\geq x![/tex3], donde certamente [tex3]y=x[/tex3].

Agora a resolução segue como a do Superaks:

[tex3]2x!+z!=x!^2\\
x!(x!-2)=z!\\
\gcd(x!,~x!-2)=2[/tex3]

Aqui primeiramente a gente nota que [tex3]x=3[/tex3] dá solução e então assume que [tex3]x\geq 4[/tex3]. Ora, se o mdc dá 2, e [tex3]x![/tex3] tem mais de um fator de 2, é porque o [tex3]x!-2[/tex3] é composto de apenas um fator de 2. Portanto teremos

[tex3]x!-2=z(z-1)\dots(x+1)[/tex3]

A gente percebe que z é no máximo 3, porque se fosse 4, então [tex3]x!-2[/tex3] seria obrigatoriamente divisível por 4, mas é no máximo divisível por 2. O problema é que não tem como o z ser menor ou igual a 3, porque daí [tex3]x\leq 2[/tex3], absurdo, pois o lado esquerdo zera ou fica negativo. Portanto [tex3](x,y,z)=(3,3,4)[/tex3] é a única solução.