Ensino Superior ⇒ Teorema de Stokes Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

Seja [tex3]\sigma[/tex3] a superfície [tex3]\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2 =1, 0\leq z \leq 1\} [/tex3] e seja [tex3]\vec F[/tex3] um campo vetorial de classe [tex3]C^1[/tex3] num aberto contendo [tex3]\sigma[/tex3]. Justifique a afirmação
[tex3]\int \int_\sigma rot \ \vec F\cdot \vec n \ \ dS = \int_{\Gamma_1} \vec F\cdot d \vec r + \int_{\Gamma_2} \vec F\cdot d \vec r [/tex3]
onde [tex3]\Gamma_1(t) = (\cos t, \sin t, 0),\ \ 0\leq t \leq2 \pi[/tex3], [tex3]\Gamma_2(t) = (\cos t, -\sin t, 1),\ \ 0\leq t \leq2 \pi[/tex3], e [tex3]\vec n[/tex3] a normal apontando para fora do cilindro.

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[Cardoso1979]

Observe

Uma justificativa:

Esta questão é totalmente teórica, e vamos precisar utilizar de truques geométricos para sua resolução.

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Temos essa casca cilíndrica. Para justificar a proposição do enunciado precisaremos fazer o seguinte, partir essa casca em duas (2) partes, temos

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E vamos aplicar a integral de linha no contorno. Recordando que sempre queremos o sentido anti-horário na nossa circulação. Assim os contornos ficam

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E faremos

[tex3]\int\limits_{\Gamma}^{}\vec{F} \ dr[/tex3]

Para todas as oito (8) curvas sinalizadas. Para economizarmos tempo, podemos usar de lógica, afinal as curvas C5 e C1 são as mesmas regiões, no entanto estão em sentidos contrários, logo se somarmos as integrais de linha obteremos um valor nulo, pois elas se anularão. O mesmo raciocínio vale para as curvas C3 e C7 . Segue que, as nossas integrais de linha se resumem a

[tex3]\int\limits_{C2}^{}\vec{F} \ .dr \ + \ \int\limits_{C4}^{}\vec{F} \ .dr \ + \ \int\limits_{C6}^{}\vec{F} \ .dr \ + \ \int\limits_{C8}^{}\vec{F} \ .dr [/tex3]

Que são círculos em circulação contrária

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Podemos afirmar então que C6 e C2 agora fazem parte da mesma curva, digamos [tex3]\Gamma_{1}[/tex3].

E também que C4 e C8 estão também na mesma curva, digamos [tex3]\Gamma_{2}[/tex3].

Portanto, uma possível parametrização poderia ser

[tex3]\Gamma_1(t) = (\cos t, \sin t, 0),\ \ 0\leq t \leq2 \pi[/tex3]

[tex3]\Gamma_2(t) = (\cos t, -\sin t, 1),\ \ 0\leq t \leq2 \pi[/tex3]

E com isso, conseguimos justificar a afirmação do enunciado. C.q.j.


Excelente estudo!