Pré-Vestibular ⇒ (UEFS) Geometria Analítica: Reta e Circunferência

[claudiomarianosilveira]

Existem dois círculos tangentes às retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] passando pelo ponto [tex3]A,[/tex3] tal que [tex3]\bar{OB} = 2[/tex3] e [tex3]\bar{BA} = 1.[/tex3] Um deles é mostrado na figura. Determine o valor da soma das medidas dos raios desses círculos.

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[edu_landim]

Consideremos a circunferência que está representada na figura.

No [tex3]\triangle CPA[/tex3] temos [tex3]\overline{CA}=r[/tex3] e [tex3]\overline{CP}=r-1.[/tex3]

Aplicando o teorema de pitágoras nesse triângulo temos [tex3]r^2=(r-1)^2+\overline{AP}^2\Rightarrow \overline{AP}^2 =2r-1.[/tex3]

Perceba que [tex3]\overline{OB}=\overline{OG}+\overline{GB}[/tex3] então

• [tex3]2=r+\sqrt{2r-1}[/tex3]
  
  [tex3]2-r=\sqrt{2r-1}[/tex3]
  
  [tex3](2-r)^2=2r-1\text{ }(*)[/tex3]
  
  [tex3]r^2-6r+5=0\Longrightarrow r_1=5 \text{ e } r_2=1[/tex3]

Portanto,

• [tex3]r_1+r_2=1+5=6[/tex3]