Ensino Médio ⇒ Determine uma raiz no intervalo dado Tópico resolvido

[MatheusBorgesMOD]

Determinar m na equação do 2 grau [tex3](3m-2)x^{2}+2mx+3m[/tex3] para que se tenha uma única raiz entre -1 e 0

Resposta

---

0<m<[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Fiz da maneira ensinada por ele e está dando errado, veja:

[tex3]\Delta \geq 0\wedge f(0).a> 0\wedge f(-1).a> 0\wedge -1<\frac{S}{2}<0[/tex3]

[tex3]\Delta \geq 0\rightarrow 8m(3-4m)\geq 0\rightarrow 0\leq m\leq\frac{3}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{S}{2}<0\rightarrow m<0\vee m >\frac{2}{3}[/tex3] o que nem preciso continuar por que o resultado está diferente
O gabarito está errado?

[csmarceloMOD]

Está faltando algo no enunciado, não?

[MatheusBorgesMOD]

Corrigido Marcelo, obrigado.

[csmarceloMOD]

Desculpe a demora em responder. Não sei se foi erro de digitação, mas, para que haja apenas uma raiz entre 0 e -1, devemos ter [tex3]f(0)<0[/tex3] e [tex3]f(1)>0[/tex3], ou vice-versa.

Além disso, parece que você se confundiu em algum momento durante o desenvolvimento da soma das raízes.

1) [tex3]\Delta\geq0[/tex3]

[tex3]0\leq m\leq\frac{3}{4}[/tex3]

------------------------------

2)

Temos que

[tex3]f(-1)\cdot a=(4m-2)(3m-2)[/tex3]

[tex3](4m-2)(3m-2)=0\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\m=\frac{2}{3}\end{cases}\ (I)[/tex3]

[tex3]f(0)\cdot a=m(9m-6)[/tex3]

[tex3]m(9m-6)=0\begin{cases}m=0\\m=\frac{2}{3}\end{cases}\ (II)[/tex3]

2.1) [tex3]f(-1)\cdot a>0\ (III)[/tex3] e [tex3]f(0)\cdot a<0\ (IV)[/tex3]

De [tex3](III)[/tex3]

[tex3]m<\frac{1}{2}[/tex3] ou [tex3]m>\frac{2}{3}[/tex3]

De [tex3](IV)[/tex3]

[tex3]m>0[/tex3] e [tex3]m<\frac{2}{3}[/tex3]

Fazendo a interseção,

[tex3]0<m<\frac{1}{2}[/tex3]

2.2) [tex3]f(-1)\cdot a<0\ (V)[/tex3] e [tex3]f(0)\cdot a>0\ (VI)[/tex3]

De [tex3](V)[/tex3]

[tex3]m>\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]m<\frac{2}{3}[/tex3]

De [tex3](VI)[/tex3]

[tex3]m<0[/tex3] ou [tex3]m>\frac{2}{3}[/tex3]

Fazendo a interseção,

[tex3]m\notin\mathbb{R}[/tex3]

3)

[tex3]\frac{S}{2}=\frac{3m}{2(3m-2)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{m}{3m-2}[/tex3]

3.1) [tex3]\frac{m}{3m-2}<0[/tex3]

[tex3]m>0[/tex3] e [tex3]m<\frac{2}{3}[/tex3]

ou

[tex3]m<0[/tex3] e [tex3]m>\frac{2}{3}\rightarrow m\in\mathbb{R}[/tex3]

3.2) [tex3]\frac{m}{3m-2}>-1[/tex3]

[tex3]\frac{4m-2}{3m-2}>0[/tex3]

[tex3]m>\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]m>\frac{2}{3}\rightarrow m>\frac{2}{3}[/tex3]

ou

[tex3]m<\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]m<\frac{2}{3}\rightarrow m<\frac{1}{2}[/tex3]

[MatheusBorgesMOD]

para que haja apenas uma raiz entre 0 e -1, devemos ter [tex3]f(0)<0[/tex3] e [tex3]f(1)>0[/tex3], ou vice-versa.


(Vice-versa), significa f [tex3]f(0)>0[/tex3] e [tex3]f{1}<0 [/tex3]?
No livro ele não ensina isso, eu fiz o esboço aqui desse jeito que você falou e parece que você obriga que a parábola corte eixo das abcissas em sinais contrário.

[MatheusBorgesMOD]

[tex3]\frac{4m-2}{3m-2}[/tex3]> 0

Marcelo não entendi sua resolução nessa parte.

[tex3]m< \frac{1}{2}[/tex3] ou [tex3]m>\frac{2}{3}[/tex3]

E nesta outra.


[tex3]\frac{m}{3m-2}<0 \rightarrow [/tex3] [tex3]m\in \mathbb{R}[/tex3]
se coloar m=1 [tex3]\rightarrow [/tex3] 0>1 que não é verdade
meu fica nessa fica
[tex3]m<\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]m>\frac{2}{3}[/tex3]

[csmarceloMOD]

para que haja apenas uma raiz entre 0 e -1, devemos ter [tex3]f(0)<0[/tex3] e [tex3]f(1)>0[/tex3], ou vice-versa.


(Vice-versa), significa f [tex3]f(0)>0[/tex3] e [tex3]f{1}<0 [/tex3]?
No livro ele não ensina isso, eu fiz o esboço aqui desse jeito que você falou e parece que você obriga que a parábola corte eixo das abcissas em sinais contrário.

Não sei se é isso, mas eu me atrapalhei nessa parte, que não condiz com o que foi desenvolvido.

Na verdade, para que haja apenas uma raiz entre 0 e -1, devemos ter:

1) [tex3]a\cdot f(-1)<0[/tex3] e [tex3]a\cdot f(0)>0[/tex3]

ou (vice-versa)

2) [tex3]a\cdot f(-1)>0[/tex3] e [tex3]a\cdot f(0)<0[/tex3]

Repare que, quando fazemos [tex3]a\cdot f(p)>0[/tex3], estamos determinando que [tex3]f(p)[/tex3] possui o mesmo sinal de [tex3]a[/tex3] e, quando fazemos [tex3]a\cdot f(q)<0[/tex3], estamos determinando que [tex3]f(q)[/tex3] possui sinal contrário ao de [tex3]a[/tex3]. Dessa forma, [tex3]f(p)[/tex3] e [tex3]f(q)[/tex3] possuirão sinais contrários. Para isso acontecer, a parábola precisará cortar o eixo das abscissas entre [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3].

[csmarceloMOD]

[tex3]\frac{4m-2}{3m-2}>0[/tex3]

Encontrando as raízes:

[tex3]4m-2=0\rightarrow m=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]3m-2=0\rightarrow m=\frac{2}{3}[/tex3]

Ambos coeficientes são positivos, logo as funções são crescentes.

Sem título.png (2.95 KiB) Exibido 3633 vezes

[tex3]S=\left]-\infty,\frac{1}{2}\right[\ \cup\ \left]\frac{2}{3},+\infty\right[[/tex3]

--------------------------------------------------------

[tex3]\frac{m}{3m-2}<0[/tex3] * Aqui eu me enganei mesmo, mas repare que ele quer os valores para os quais a expressão é negativa e não positiva.

Encontrando as raízes:

[tex3]m=0[/tex3]

[tex3]3m-2=0\rightarrow m=\frac{2}{3}[/tex3]

Ambos coeficientes são positivos, logo as funções são crescentes.

Sem título.png (2.67 KiB) Exibido 3633 vezes

[tex3]S=\left]0,\frac{2}{3}\right[[/tex3]

Mesmo com o erro, o resultado permanece inalterado. Particularmente, eu acredito que o cálculo de [tex3]\Delta[/tex3] e [tex3]S[/tex3] são irrelevantes. Volto a postar aqui quando tiver a confirmação disso.

[MatheusBorgesMOD]

Consegui Resolver!!!

Bom para atender os critérios do enunciado temos;
(1) x1<-1<x2<0 [tex3]\vee [/tex3](2)-1<x1<0<x2

Resolvendo a (1) hipótese temos:

x1<-1<x2 [tex3]\rightarrow \Delta \geq 0\wedge f(\alpha ).a<0[/tex3]
[tex3]\Delta \geq 0 \rightarrow -32m^{2}+24m>0 \rightarrow 0\leq m\leq\frac{3}{4} [/tex3](I)

[tex3]f(-1 ).a<0 \rightarrow (3m-2)(4m-2)<0 \rightarrow \frac{1}{2} < m<\frac{2}{3}[/tex3]

Segunda Parte da solução (1)

x2<0 [tex3]\rightarrow \Delta \geq 0\wedge f(0 ).a>0\wedge \frac{S}{2}>0[/tex3]
[tex3]\rightarrow \Delta \geq 0\wedge f(0 ).a>0[/tex3] garante que que [tex3]\alpha \notin (x1,x2)[/tex3] mas não indica se [tex3]\alpha [/tex3] está a direita ou a esquerda desse intervalo(esquerda [tex3]\alpha < x1\leq x2 [/tex3]) ou (á direita dele [tex3]x1\leq x2<\alpha [/tex3]
Por isso utilza a média aritmética das raízes.
E por que garante?
O Iezzi demonstra no Teorema 2 página 151:
Se [tex3]\Delta \geq 0\wedge f(\alpha ).a>0[/tex3] então [tex3]\alpha [/tex3] está a esquerda ou à direita de x1,x2.

Se [tex3]\Delta>0\wedge x1\leq \alpha \leq x2 \rightarrow a.f(\alpha)<0 [/tex3] o que contradiz a
proposta de [tex3]f(\alpha ).a>0[/tex3].
Se [tex3]\Delta [/tex3]=0 [tex3]\rightarrow \alpha [/tex3]=x1,x2 então [tex3]a.f(\alpha )[/tex3]=0 o que contradiz a proposta de [tex3[f(\alpha ).a>0[/tex3].
Continuando.

[tex3]\Delta \geq 0\rightarrow 0\leq m\leq \frac{3}{4}[/tex3](III)
[tex3]f(0 ).a>0[/tex3].[tex3]\rightarrow (3m-2)m>0\rightarrow \vee m<0m>\frac{2}{3}[/tex3](IV)
[tex3]\frac{S}{2}<0\rightarrow \frac{-2m}{6m-3}<0\rightarrow m<0\vee m\frac{2}{3}[/tex3](V)
[tex3]III\cap IV \cap V\rightarrow \frac{2}{3}< m\leq \frac{3}{4} [/tex3]

Faz a intersecção entre a parte (1) e a (2)
[tex3]\frac{1}{2} < m<\frac{2}{3}\cap \frac{2}{3}< m\leq \frac{3}{4} \rightarrow \emptyset [/tex3]

hipótese 1 descartada.

[MatheusBorgesMOD]

-1<x1<0<x2
1 parte da Solução 2
-1>x1 [tex3]\rightarrow (I)a.f(-1)>0\wedge \Delta (II)\geq 0\wedge (III)\frac{S}{2}>-1[/tex3]
(I)[tex3]\rightarrow m<\frac{1}{2}\vee m>\frac{2}{3}[/tex3]
(II)[tex3]\rightarrow 0\leq m\leq \frac{3}{4}[/tex3]
(III)[tex3]\frac{-2m}{6m-4}>-1\rightarrow \frac{4m-4}{6m-4}>0\rightarrow m<\frac{2}{3}\vee m>1[/tex3]
[tex3]I \cap II \cap III\rightarrow 0\leq m <\frac{1}{2}[/tex3]=s3

2 parte da Solução 2

x1<0<x2 [tex3]\rightarrow (I)f(0).a<0\wedge (II) \Delta >0[/tex3]

(I)0<m<[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
(II) [tex3]0< m<\frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]I \cap II \rightarrow 0 < m <\frac{2}{3} [/tex3]=s4
[tex3]s3 \cap s4\rightarrow 0< m<\frac{1}{2}[/tex3]

Obrigado Marcelo!!!!!