Ensino Médio ⇒ Razão entre volumes Tópico resolvido

[juniorqq]

Relativamente a dois recipientes disponíveis em certo laboratório, sabe-se que:
– um tem a forma de um cubo de x cm de aresta e, outro, a forma de um paralelepípedo reto retângulo em que a altura tem a mesma medida da
altura do recipiente cúbico e as arestas da base medem 3 cm e 4 cm;
– o volume do recipiente cúbico excede o do outro recipiente em 16 cm [tex3]^{3}[/tex3] ;
Considerando as informações anteriores, é possível obter uma equação que permite calcular as dimensões de tais recipientes e sabendo que uma das raízes de uma equação do 3o grau da forma [tex3]y^{3}[/tex3]+ My + N = 0 pode ser determinada através da expressão

[tex3]y=\sqrt[3]{-\frac{N}{2}+\sqrt{\frac{N^2}{4}+\frac{M^2}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{N}{2}-\sqrt{\frac{N^2}{4}+\frac{M^3}{27}}}[/tex3]

então é correto concluir que a razão entre os volumes do menor e do maior recipientes, nesta ordem, é:

A)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

B)[tex3]\frac{5}{8}[/tex3]

C)[tex3]\frac{3}{4}[/tex3]

D)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

E)[tex3]\frac{3}{8}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito Letra C

Muito Obrigado desde já!!!

[jomatlove]

Resoluçao:
[tex3]V_{c}=V_{p}+16[/tex3]
[tex3]x^{3}=12.x+16[/tex3]
[tex3]x^{3}-12x-16=0[/tex3]
[tex3]M=-12[/tex3]
[tex3]N=-16[/tex3]
Substituindo na expressão dada:
[tex3]x=\sqrt[3]{-\frac{(-16)}{2}+\sqrt{\frac{(-16)^{2}}{4}+\frac{(-12)^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{(-16)}{2}-\sqrt{\frac{(-16)^{2}}{4}+\frac{(-12)^{3}}{27}}}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt[3]{8+\sqrt{64-64}}+\sqrt[3]{8-\sqrt{64-64}}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{8}=2+2=4[/tex3]
Assim,temos:
[tex3]V_{c}=x^{3}=4^{3}=64[/tex3]
[tex3]V_{p}=12x=12.4=48[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{V_{p}}{V_{c}}=\frac{48}{64}=\frac{3}{4}[/tex3]

[juniorqq]

Muito Obrigado!!!
Boa semana!!!