IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1987) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[rean]

O triângulo [tex3]ABC[/tex3] da figura abaixo tem área [tex3]S.[/tex3] A área da região hachurada é, em função de [tex3]S:[/tex3]

AA77.png (7.55 KiB) Exibido 8389 vezes

Dados:

• [tex3]\bar{AB}=\bar{BC}=2\bar{AC}[/tex3]
  [tex3]BH[/tex3] é altura
  [tex3]AD[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\hat A[/tex3]

a) [tex3]\frac{2S}{15}\text{ }[/tex3] b) [tex3]\frac{S}{2}\text{ }[/tex3] c) [tex3]\frac{S}{18}\text{ }[/tex3] d) [tex3]\frac{7S}{30}\text{ }[/tex3] e) [tex3]\frac{S}{21}[/tex3]

[Beastie]

Seja [tex3]C\hat AD=B\hat AD=\alpha[/tex3], [tex3]AC=x[/tex3] e aplicando Teorema dos Senos no triângulo [tex3]ABC[/tex3]:

• [tex3]\frac{2x}{\sen (2\alpha)}=\frac{x}{\sen (180^\circ - 4\alpha)}\Rightarrow \cos (2\alpha)=\frac{1}{4}.[/tex3]

Daí:

• [tex3]\sen (\alpha)=\sqrt{\frac{1- \cos (2\alpha)}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4};[/tex3]
  [tex3]\cos (\alpha) = \sqrt{\frac{1 + \cos (2\alpha)}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4};[/tex3]
  [tex3]\tg (\alpha) = \frac{\sen (\alpha)}{ \cos (\alpha)}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.[/tex3]

Seja [tex3]I[/tex3] o ponto de interseção de [tex3]AD[/tex3] e [tex3]BH[/tex3]:

• [tex3]HI = AH \cdot \tg (\alpha)=\frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{x\sqrt{15}}{10} \Rightarrow [AIH]= \frac{\frac{x\sqrt{15}}{10} \cdot \frac{x}{2}}{2} = \frac{x^2\sqrt{15}}{40}[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

Aplicando a Lei dos Senos no triângulo [tex3]ACD[/tex3]:

• [tex3]\frac{AD}{\sen (2\alpha)}=\frac{x}{\sen (180^\circ-3\alpha)}\Rightarrow AD= \frac{x\cdot\sen (2\alpha) }{\sen (3\alpha)}[/tex3]

Temos:

• [tex3]\sen (2\alpha) = 2 \cdot \sen (\alpha) \cdot \cos (\alpha)=2\cdot \frac{\sqrt{6}}{4}\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{4};[/tex3]
  [tex3]\sen (3\alpha)=3\cdot \sen (\alpha)-4\cdot \sen ^3(\alpha)=3.\frac{\sqrt{6}}{4}-4\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^3=\frac{3\sqrt{6}}{8}.[/tex3]

Logo,

• [tex3]AD=\frac{x\sqrt{10}}{3}\Rightarrow [ACD]=\frac{AD\cdot x\cdot \sen (\alpha)}{2}=\frac{x^2\sqrt{15}}{12}[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii):[/tex3]

• [tex3][CDIH]=[ACD]-[AIH]=\frac{x^2\sqrt{15}}{12}-\frac{x^2\sqrt{15}}{40}=\frac{7x^2\sqrt{15}}{120}[/tex3]

• [tex3]S=\frac{2x\cdot x\cdot \sen (2\alpha)}{2}=\frac{x^2\sqrt{15}}{4}[/tex3]

• [tex3]\frac{[CDIH]}{S}= \frac{\frac{7x^2\sqrt{15}}{120}}{\frac{x^2\sqrt{15}}{4}} =\frac{7}{30}[/tex3]

Portanto, [tex3][CDHI]=\frac{7}{30}S.[/tex3]

Letra (d).

[Auto Excluído (ID:276)]

Usando razão entre as áreas:

• [tex3]\frac{[ADC]}{[ABD]} = \frac{2AB}{AB} \Rightarrow \frac{3[ABD]}{2} = S.[/tex3]

Chamando de [tex3]E[/tex3] o ponto de interseção das cevianas:

• [tex3]\frac{[BED]}{[ABE]} = \frac{BD}{AB}.[/tex3]

Como [tex3]BD = 2DC[/tex3] e [tex3]BD + DC =\frac{AB}{2},[/tex3] temos [tex3]BD = \frac{2AB}{3}.[/tex3]

Assim,

• [tex3]\frac{[BED]}{[ABE]} = \frac{2}{3} \Rightarrow [ABE] = \frac{3[BED]}{2}.[/tex3]

Por conseguinte, [tex3][BED] = \frac{4S}{15}.[/tex3]

Além disso, como [tex3][BHC] = \frac{S}{2},[/tex3] segue que a área pedida é

• [tex3]\frac{S}{2} - \frac{4S}{15} = \frac{7S}{30}[/tex3]

té +

[rean]

É pedro123, a sua resposta foi excelente, porque em matemática existem várias maneiras de se dar uma resposta, mas devemos simplificar o máximo, quando dá, para que não fique uma resposta cansativa e desestimulante da questão para quem vai analizar do outro lado.

Beastie, a sua resposta foi show de bola, muito bem pensado, é isso que os nossos alunos precisam ver a resolução de vários ângulos e maneira de resolver um problema.

Quantas pessoas tem o livro do Jairo Bezerra e essa questão está lá, mas não sabem nem como começar a sua resolução achando que é um problema difícil, esse fórum esta de parabéns graça ao nosso amigo Prof. Thyago (Caju) que teve essa brilhante idéia de fazer esse fórum.

Rean

[ALDRINMOD]

Quantas pessoas fazem parte desse maravilhoso fórum e mesmo assim essa questão ficou bastante tempo sem resolução. Nota-se que não é uma questão difícil, porém, não é uma questão fácil. E eu deixo uma sugestão a todos: Se preocupem também com a nossa Língua Portuguesa, pois pega mal erros de ortografia, tudo bem que às vezes a gente acaba digitando errado, mas dá para voltar e editar.

Abraços.

[Auto Excluído (ID:276)]

Com certeza Aldrin,

Acho que devemos ter bastante cuidado com o português mesmo. Dou total razão.

[xjapzamozox]

O que eu acho estranho é uma pessoa fazer esse exercício em 9 minutos!

[Auto Excluído (ID:276)]

Por que ? Você esperava que ela fizesse em mais ou menos tempo ?

Bem, acho que dá pra fazer em menos tempo. Depende da sua organização. Dá pra tirar muitas informações dele, então fica mais difícil você organizá-las para colocá-las em ordem para achar a resposta do que pensar no problema em si.

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Analisando as questões antigas, me deparei com esta. Já que foi discutido o fato de ter diversas resoluções, resolvi criar uma resolução minha, diferente também.

Vou seguir a figura abaixo:

Figura.jpg (23.39 KiB) Exibido 6696 vezes

Como o triângulo [tex3]ABC[/tex3] é isósceles, temos que a altura [tex3]AH[/tex3] é bissetriz também, ou seja, [tex3]E[/tex3] é o ponto de encontro das bissetrizes e, conseqüentemente, centro do círculo inscrito (como vemos na figura acima). Podemos, assim, calcular a área do trângulo [tex3]ABC[/tex3] como sendo a soma das áreas dos triângulos [tex3]ABE[/tex3], [tex3]CBE[/tex3] e [tex3]ACE[/tex3] (todos com base igual aos lados do triângulo [tex3]ABC[/tex3] e altura igual ao raio do círculo inscrito):

[tex3]S=\frac{AB\cdot R}{2}+\frac{BC\cdot R}{2}+\frac{AC\cdot R}{2}[/tex3]

[tex3]S=\frac{2x\cdot R}{2}+\frac{2x\cdot R}{2}+\frac{x\cdot R}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{R=\frac{2S}{5x}}[/tex3]

Pelo teorema da bissetriz interna, podemos encontrar o valor de [tex3]y[/tex3]:

[tex3]\frac{y}{x}=\frac{2x-y}{2x}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y=\frac{2x}{3}}[/tex3]

Agora podemos calcular a área hachurada como sendo a soma das áreas dos triângulos [tex3]CEH[/tex3] e [tex3]CED[/tex3]:

[tex3]S_{\text{hac}}=\frac{\frac x2\cdot R}{2}+\frac{y\cdot R}{2}[/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]R[/tex3] e [tex3]y[/tex3] encontrados anteriormente, teremos a resposta final:

[tex3]S_{\text{hac}}=\frac{7S}{30}[/tex3]