Ensino Fundamental ⇒ Área quadrangular

[Flavio2020]

Na figura abaixo, P é um ponto de tangência; AB=BC=AC e PB=2m, calcular a área da região quadrangular AMNC.

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a)2m²
b)[tex3]\sqrt{3m²}[/tex3]
c)3m²
d)2 [tex3]\sqrt{3m²}[/tex3]
e)[tex3]\sqrt{3/4m²}[/tex3]

[jedi]

area_trap_triang.png (202.83 KiB) Exibido 1499 vezes

os lados do triangulo são iguais à R+r

sendo assim a altura será [tex3]h=\frac{\sqrt3}{2}(R+r)[/tex3]

[tex3]x=R-\frac{R+r}{2}=\frac{R-r}{2}[/tex3]

[tex3]x^2+h^2=BP^2[/tex3]

[tex3]\left(\frac{R-r}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}.\frac{R+r}{2}\right)^2=2^2[/tex3]

[tex3]R^2+Rr+r^2=4[/tex3]

A area da região pode ser calculada pela soma das areas dos triangulos AMD e CNE e do trapézio MNED

[tex3]=\frac{\sqrt3R}{2}.\frac{R}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3r}{2}.\frac{r}{2}.\frac{1}{2}+\frac{R+r}{2}.\frac{\left(\frac{\sqrt3R}{2}+\frac{\sqrt3r}{2}\right)}{2}[/tex3]

[tex3]=\sqrt3\left(\frac{R^2+Rr+r^2}{4}\right)[/tex3]

[tex3]=\sqrt3\left(\frac{4}{4}\right)=\sqrt3[/tex3]