Ensino Superior ⇒ Transformada de Fourier Tópico resolvido

[rippertoru]

Olá pessoal. Estou fazendo alguns exercícios de transformada de Fourier, mas há uma questão que não está "batendo" com o gabarito. Logo abaixo segue a questão, o gabarito e como eu fiz.

Avalie a transformada de Fourier de uma senoide atenuada [tex3]g(t) = e^{-t}sen(2\pi f_c t) u(t)[/tex3], em que u(t) é um degrau unitário.
Gabarito: [tex3]\frac{2\pi f_c}{1 + 4\pi (f - f_c)^2}[/tex3]

Como tentei resolver:

[tex3]G(f) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}sen(2\pi f_c t)e^{-j2\pi f t}dt = \int_{0}^{\infty}sen(2\pi f_c t)e^{-t(1+j2\pi f)}dt[/tex3]
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[tex3]u = sen(2\pi f_c t) \ \ \ \ \ du = cos(2\pi f_c t)2\pi f_c dt[/tex3]
[tex3]dv = e^{-t(1+j2\pi f)}\ \ \ \ \ v = \frac{-e^{-t(1 + j2\pi f)}}{1 + j2\pi f}[/tex3]

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[tex3]G(f) = sen(2\pi f_c t)\frac{-e^{-t(1 + j2\pi f)}}{1 + j2\pi f}|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\frac{-e^{-t(1 + j2\pi f)}}{1 + j2\pi f} cos(2\pi f_c t)2\pi f_c dt[/tex3]
[tex3]G(f) = \frac{2\pi f_c}{1 + j2\pi f} \int_{0}^{\infty}e^{-t(1 + j2\pi f)} cos(2\pi f_c t) dt[/tex3]
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[tex3]u = cos(2\pi f_c t) \ \ \ \ \ du = -sen(2\pi f_c t)2\pi f_c dt[/tex3]
[tex3]dv = e^{-t(1+j2\pi f)}\ \ \ \ \ v = \frac{-e^{-t(1 + j2\pi f)}}{1 + j2\pi f}[/tex3]
-----------------------
[tex3]G(f) = \frac{2\pi f_c}{1 + j2\pi f}\left( cos(2\pi f_c t)\frac{-e^{-t(1 + j2\pi f)}}{1 + j2\pi f}|^{\infty}_{0} -\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t(1 + j2\pi f)}}{1 + j2\pi f} sen(2\pi f_c t)2_\pi f_c dt \right)[/tex3]

[tex3]G(f) = \frac{2\pi f_c}{1 + j2\pi f}\left( \frac{1}{1 + j2\pi f} -\frac{2_\pi f_c}{1 + j2\pi f}\int_{0}^{\infty} e^{-t(1 + j2\pi f)}sen(2\pi f_c t) dt \right)[/tex3]

[tex3]G(f) = \frac{2\pi f_c}{(1 + j2\pi f)^2} -\frac{(2_\pi f_c)^2}{(1 + j2\pi f)^2}\int_{0}^{\infty} e^{-t(1 + j2\pi f)}sen(2\pi f_c t) dt [/tex3]
[tex3]G(f) = \frac{2\pi f_c}{(1 + j2\pi f)^2} -\frac{(2_\pi f_c)^2}{(1 + j2\pi f)^2}G(f) [/tex3]
[tex3]G(f) +\frac{(2_\pi f_c)^2}{(1 + j2\pi f)^2}G(f) = \frac{2\pi f_c}{(1 + j2\pi f)^2} [/tex3]
[tex3]G(f)\left (1 +\frac{(2_\pi f_c)^2}{(1 + j2\pi f)^2}\right) = \frac{2\pi f_c}{(1 + j2\pi f)^2} [/tex3]
[tex3]G(f)= \frac{\frac{2\pi f_c}{(1 + j2\pi f)^2}}{\left (1 +\frac{(2_\pi f_c)^2}{(1 + j2\pi f)^2}\right) } [/tex3]
[tex3]G(f)= \frac{\frac{2\pi f_c}{(1 + j2\pi f)^2}}{\left (\frac{(1+j2\pi f)^2 +(2\pi f_c)^2}{(1 + j2\pi f)^2}\right) } [/tex3]
[tex3]G(f)= \frac{2\pi f_c}{(1+j2\pi f)^2 +(2\pi f_c)^2} [/tex3]
[tex3]G(f)= \frac{2\pi f_c}{1^2+2j2\pi f + j^24\pi^2 f^2 +4\pi^2 f_c^2} [/tex3]
[tex3]G(f)= \frac{2\pi f_c}{1 +4j\pi f -4\pi^2 f^2 +4\pi^2 f_c^2} [/tex3]
[tex3]G(f)= \frac{2\pi f_c}{1 +4j\pi f + 4\pi^2(f_c^2- f^2)} [/tex3]

O que estou esquecendo?
Grato desde já.

[jedi]

Amigo

No meu ver sua solução esta correta

[rippertoru]

Muito obrigada pelo retorno jedi. Aparentemente parece não haver nada de errado nos cálculos. Encontrei uma solução para esta questão hoje, seguem os cálculos:

[tex3]G(f) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}sen(2\pi f_c t)e^{-j2\pi f t}dt[/tex3] (1)

Faça: [tex3]sen(2\pi f_c t) = \frac{e^{j2\pi f_c t} - e^{-j2\pi f_c t}}{2j}[/tex3] (2)

Substituindo (2) em (1):
[tex3]G(f) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}\left(\frac{e^{j2\pi f_c t} - e^{-j2\pi f_c t}}{2j} \right)e^{-j2\pi f t}dt[/tex3] (a)
[tex3]G(f) = \frac{1}{2j}\int_{0}^{\infty}\left(e^{j2\pi f_c t - t} - e^{-j2\pi f_c t - t} \right)e^{-j2\pi f t}dt[/tex3] (b)
[tex3]G(f) = \frac{1}{2j}\left( \frac{1}{j2\pi(f_c - f) - 1}e^{j2\pi(f_c -f)t - t} + \frac{1}{j2\pi(f_c - f) + 1}e^{(-j2\pi(f_c - f)t) - t}\right)|_{0}^{\infty}[/tex3] (c)
[tex3]G(f) = \frac{1}{2j}\left( \frac{1}{j2\pi(f_c - f) - 1} + \frac{1}{j2\pi(f_c - f) + 1}\right)[/tex3] (d)
[tex3]G(f) = \frac{1}{2j}\left( \frac{(j2\pi(f_c - f) + 1) + (j2\pi(f_c - f) - 1)}{1 + 4\pi^2(f_c - f)^2} \right)[/tex3] (e)
[tex3]G(f) = \frac{2\pi f_c}{1 + 4\pi^2(f - f_c)^2}[/tex3] (f)
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Na transição do passo (b) para (c), não entendi como ele chegou ao termo: [tex3]+ \frac{1}{j2\pi(f_c - f) + 1}e^{(-j2\pi(f_c - f)t) - t}[/tex3]
Na transição de (e) para (f), o numerador de (f) não seria: [tex3]-2\pi(f - f_c)[/tex3]?

Grato desde já!

[Andre13000]

Fiz aqui e deu a mesma coisa que voce.

[jedi]

Então rippertoru, naquela passagem de c) para d) há um equívoco, o correto seria

[tex3]G(f) =\frac{1}{2j}\left(- \frac{1}{j2\pi(f_c - f) - 1} - \frac{1}{j2\pi(f_c + f) + 1}\right)[/tex3]

tirando o mmc e fazendo as simplificação chega no mesmo resultado que o seu

Acho que é isso

Abraço

[rippertoru]

Obrigado pelas respostas jedi e Andre13000, creio que o gabarito esteja incorreto.