Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Relações Métricas no Triângulo Retângulo

[naty_naty_n]

Em um triângulo retângulo em [tex3]O,[/tex3] com [tex3]\bar{AO}= a[/tex3] e [tex3]\bar{OB}=b,[/tex3] são dados os pontos [tex3]P[/tex3] em [tex3]AO[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] em [tex3]OB[/tex3] de tal maneira que [tex3]\bar{AP}=\bar{PQ}=\bar{QB}=x.[/tex3] Nestas condições, o valor de [tex3]x[/tex3] é:

a) [tex3]\sqrt {ab} -a -b[/tex3]
b) [tex3]a+b- \sqrt{2ab}[/tex3]
c)[tex3]\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
d) [tex3]a+b+ \sqrt{2ab}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{ab} +a +b[/tex3]

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[Thadeu]

[tex3]AO=a\,\,,\,\,OB=b\,\,,\,\,PQ=x\,\,,\,\,OP=a-x\,\,\,\,e\,\,\,\,OQ=b-x[/tex3]

Como o triângulo OPQ é retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras:

[tex3](PQ)^2=(OP)^2+(OQ)^2\,\Rightarrow\,x^2=(a-x)^2+(b-x)^2\,\Rightarrow\,x^2=a^2-2ax+x^2+b^2-2bx+x^2\\\Rightarrow\,x^2-(2a+2b)x+(a^2+b^2)=0[/tex3]

Resolvendo a equação do 2º grau:

[tex3]\,\Delta=[-(2a+2b)]^2-4(1)(a^2+b^2)\,\Rightarrow\,\Delta=4a^2+8ab+4b^2-4a^2-4b^2\,\Rightarrow\,\Delta=8ab\\x=\frac{-[-(2a+2b)]\,\pm\,\sqrt{8ab}}{2}\,\Rightarrow\,x=\frac{2a+2b\,\pm\,2\sqrt{2ab}}{2}\\x=a+b\,\pm\,\sqrt{ab}[/tex3]

Nesse caso a resposta é a letra e

[naty_naty_n]

[tex3]x= \frac{2a + 2b \pm 2 \sqrt{2}}{2ab}[/tex3]

não seria igual a

[tex3]x= a + b \pm \sqrt{2ab}[/tex3]

o que daria a resposta [tex3]\text{B}[/tex3]

[Thadeu]

Por uma falta de atenção minha, a resposta é a letra b sim, pois nos valores [tex3]x=a+b+\sqrt{2ab}\,\,\,e\,\,\,x=a+b-\sqrt{2ab}[/tex3], o resultado da soma daria um valor de x maior que os próprios catetos do triângulo AOB, por isso a resposta só pode ser a diferença. [tex3]x=a+b-\sqrt{2ab}[/tex3]