Pré-Vestibular ⇒ (UFGD 2015) Logaritmo Tópico resolvido

[alonein]

A população inicial de uma cidade é de 20.000 habitantes. Sabe-se que seu crescimento populacional é de 5% ao ano. Considerando que a taxa de crescimento seja constante, em quantos anos aproximadamente a cidade terá dez vezes mais habitantes? Considere: log 1,05 = 0,021.

a) 30 anos
b) 36,7 anos
c) 40,5 anos
d) 43,8 anos
e) 47,6 anos

Resposta

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LETRA "E"

[csmarceloMOD]

[tex3]1,05^t=10[/tex3]

[tex3]\log1,05^t=\log10[/tex3]

[tex3]t\cdot\log1,05=\log10[/tex3]

[tex3]0,021t=1[/tex3]

[tex3]t=\frac{1}{0,021}\approx47,6[/tex3]

[MatheusBorgesMOD]

[tex3]\frac{105}{100}=1,05[/tex3]
[tex3]1,05^{t}[/tex3](I)
[tex3]1,05^{t}=10[/tex3]

Marcelo 2 dúvidas:
1)Você elevou a "t" em (I) por que o crescimento é "constante"?

2) Porque igualou 10 em (II)?

[csmarceloMOD]

1)Você elevou a "t" em (I) por que o crescimento é "constante"?

Exatamente. O enunciado diz que a taxa de crescimento é de 5% e reforça dizendo que ela é constante, ou seja, podemos assumi-la ao longo de infinitos anos.

2) Porque igualou 10 em (II)?

Suponha [tex3]f(x)=k\cdot a^x[/tex3] com [tex3]k>1[/tex3].

[tex3]f(x_1)=k\cdot a^{x_1}[/tex3]
[tex3]f(x_2)=k\cdot a^{x_2}[/tex3]

Assim, [tex3]f(x_2)[/tex3] será [tex3]\frac{f(x_2)}{f(x_1)}=\frac{k\cdot a^{x_2}}{k\cdot a^{x_1}}=a^{x_2-x_1}[/tex3] vezes maior que [tex3]f(x_1)[/tex3].

No nosso exemplo, queremos [tex3]a^{x_2-x_1}=10[/tex3], com [tex3]a=1,05[/tex3], [tex3]x_1=0[/tex3], [tex3]x_2=t[/tex3].

[MatheusBorgesMOD]

Então se a população fosse de 10,000,000,000 de pessoas ou 25 pessoas, dada as condições do exercício demoraria o mesmo tempo para que aumentasse 10 vezes?

[csmarceloMOD]

Independentemente das condições do problema. Isso é do comportamento da função exponencial.

Como [tex3]k[/tex3] é constante, o crescimento depende unica e exclusivamente da potência.

Se temos [tex3]k[/tex3] e queremos [tex3]\beta k[/tex3], basta fazermos [tex3]a^x=\beta[/tex3].

[LucasPinafiMOD]

Então se a população fosse de 10,000,000,000 de pessoas ou 25 pessoas, dada as condições do exercício demoraria o mesmo tempo para que aumentasse 10 vezes?

Só um adendo. A função exponencial é solução para um problema interessante de taxas: qual a função [tex3]y = f(x)[/tex3] tal que sua taxa de variação é igual [tex3]k[/tex3] vezes a função em cada ponto? Em uma linguagem mais formal (aprendida na teoria das equações diferenciais), podemos colocar esse problema como [tex3]\frac {df(x)}{dx} = k f(x)[/tex3], onde [tex3]df(x)/dx[/tex3] representa a taxa de variação de [tex3]f[/tex3] por [tex3]x[/tex3]. De fato, a função [tex3]f[/tex3] é dada por [tex3]f(x) = k_0e^{kx}[/tex3] sendo [tex3]k_0[/tex3] uma constante que irá depender apenas das condições iniciais do problema.
Suponha que [tex3]f(x) = k_0 e^{kx}[/tex3], com [tex3]k_0 , k>0[/tex3], represente o crescimento de alguma coisa (por exemplo, o crescimento de uma população de bactérias). Veja que, se quisermos saber o intervalo de tempo necessário, desde o instante inicial [tex3]x = t_0[/tex3] até o instante final [tex3]x = t[/tex3], para que a população de bactéria dobre, basta fazer:
[tex3]f(t_0 ) = k_0 e^{kt_0} [/tex3]
[tex3]f(t) = k_0 e^{kt} = 2 f(t_0) = 2k_0 e^{kt_0} \Longrightarrow k_0 e^{kt} = 2k_0 e^{kt_0} \Longrightarrow e^{kt} = 2e^{kt_0} \Longrightarrow kt = kt_0 \ln 2 \Longrightarrow k(t-t_0 ) = \ln 2 \Longrightarrow \Delta t = \frac{\ln 2}{k}[/tex3]
que é sempre constante, pois depende apenas de [tex3]k[/tex3].
As funções exponenciais para bases diferentes de [tex3]e[/tex3] se comportam de maneira idêntica, pois [tex3]a^x =e^x \ln a[/tex3].

[MatheusBorgesMOD]

Quando chegar no livro de limite e derivadas do FME eu revejo essa parte sua Lucas