Olimpíadas ⇒ Treinamento OBM nível 1, primeira fase Tópico resolvido

[leomaxwell]

Num quadrado formado por 9 quadrados menores e do mesmo tamanho, queremos escrever um X e um O, de forma que eles não fiquem vizinhos, isto é, os quadrados em que se encontram não podem ter um lado ou um vértice comum. O desenho abaixo mostra uma dessas possibilidades:

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De quantas maneiras podemos localizar os dois sinais, respeitadas as condições apresentadas?

a) 32 b) 20 c) 64 d)18 e)12

Resposta

---

letra a)

Encontrei 32 possibilidades e depois multipliquei por 2 (já que o ''x'' pode trocar de lugar com o ''O'' e vice-versa), mas se fizer isso não bate com o gabarito, alguém poderia me explicar o por quê? Obrigado desde ja!

[Superaks]

Mande o seu raciocínio

[leomaxwell]

Primeiro pensei o X em um quadrado dos ''vértices'', nesse caso o O tem 5 possibilidades, como são 4 vértices fiz 4x5=20
Depois coloquei o X em um quadrado entre dois vértices (com exceção do quadrado da diagonal), e daí o O tem 3 possibilidades, como são 4 quadrados entre 2 vértices, fiz 4x3=12
aí eu somei 20 + 12 = 32,

Mas aí eu pensei que tudo que fiz com o X, poderia ter feito com o O, então multipliquei o resultado por 2, ficando 2x32=64

[MatheusBorgesMOD]

Léo fiz assim:

Coloque o X nas extremidades das diagonais

Você vai encontrar em cada X 5 possibilidades, como são 4, teremos 20 possibilidades

Agora perceba que o X pode ser colocado no meio correto?

Então teremos mais 4.2 que (invertendo) ele com O

Agora analise e veja que as 4 diagonais já estão contando quase todas as possibilidades do O inverso com X
exceto quando O está no centro e X está nas diagonais e por que será? Porque colocamos o X na diagonal

faça o inverso e terá =4.5=20+8+4=32

[MatheusBorgesMOD]

X na diagonal da esquerda em cima

X _ O
_ _ O(I)
O O O

X na diagonal a esquerda de baixo

O O O
_ _ O(II)
X _ O

Veja são inverso

O _ _X
O _ _ (III)
O O O

O O O
O _ _ (IV)
O _ X
Reparou que não temos X no meio e O nas pontas ou seja o inverso?

[leomaxwell]

desculpa, MafIl10, ainda não estou conseguindo entender o raciocínio

[Optmistic]

Olá !

São nove quadrados ...

Para obter uma distância entre eles precisamos de 3 quadros ...

Temos 3 deles na horizontal, 3 na vertical e 2 em diagonais ...

3 + 3 + 2 = 8 posições em quadros ...

Agora basta ver quantas formas posso colocar ...

X _ O
O _ X

2 x 8 = 16 formas

-----------------------------------

Agora temos as posições que não estão alinhadas ... (como temos no desenho)

tenho 8 formas diferente ...

E como posso inverter ...

8 . 2 = 16

Somando ...

16 + 16 = 32

Veja exemplos em linha reta e não em linha reta.

[Superaks]

Tem 2 casos possíveis. O primeiro caso é aquele que o x está no canto e o segundo caso é quando o x está na lateral.

Caso 1:

x _ _
_ _ _
_ _ _

Você teria 5 opções para colocar o O, logo, como são 4 cantos, temos: 4 . 5 = 20 possíbilidades.

Caso 2:

_ x _
_ _ _
_ _ _

Nessa situação você consegue colocar o O em até 3 casas, logo, temos: 4 . 3 =12

12 + 20 = 32 possibilidades

[Superaks]

Estou acessando o fórum pelo 4G e não tinha visto as últimas mensagens.

Leo, não tem necessidade de multiplicar por 2, pois você já contou todos os casos. O caso em que o x está nos 4 cantos e o O nos 5 cantos restantes e o caso em que x está nas laterais e o O nos 3 cantos restantes. Quando você multiplica por 2, você estaria contando exatamente os mesmos casos, veja:

Considerando a sua primeira contagem onde x está no canto

X _ _
_ _ _
_ _ 0

Você contaria esse caso acima

Quando você multiplica por 4, você estaria contando esse caso também:

0 _ _
_ _ _
_ _ x

Por isso não tem ha necessidade de multiplicar por 2

[MatheusBorgesMOD]

22712038_1642014239197756_484096121_o.jpg (69.36 KiB) Exibido 3325 vezes

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Perceba que colocando o X nas diagonais temos 2 possibilidades que não são inversas e outras 3 que são.

As que são inversas são 3, como temos 4 possibilidades [tex3]\rightarrow [/tex3] 3.4=12

Agora as que não tem faça o inverso .

(2.4).2 =16

O "2" multiplicando o 2.4 significa o inverso.

Isso acontece por que não colocamos o X no meio, não tem como ter inversão de algo que não o ocupa aquele espaço por que X está somente nas diagonais

Colocando X nas pontas no meio (Laterais) e com O oposto a ele conte mais 4 e não mais 8 por que, se você reparar bem ao ao contar 4 você ja está contando o inverso

_ _ _
X_O
_ _ _

_X_
_ _ _
_O _

_ _ _
O_ X
_ _ _

_ O_
_ _ _
_ X_


Então temos
16+12+4=32 Agora sim!