Olimpíadas ⇒ Treinamento OBM nível 3, 1a fase - função Tópico resolvido

[leomaxwell]

Dada a função [tex3]f: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}[/tex3] ([tex3]\mathbb{Z}[/tex3] é o conjunto dos números inteiros) definida por
[tex3]f(x)=\begin{cases}
x-1 \mathbb{\ se \ x \ for \ impar}\\
e \\
x+1\ \mathbb{se \ x \ for \ par }\
\end {cases}[/tex3]
Podemos afirmar que o número de soluções da equação [tex3]f(x)=f(2x)[/tex3] é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 0

Resposta

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letra a)

[Superaks]

2x é sempre um número par, logo

f(2x) = 2x + 1

f(x) = {x - 1 se x for impar ou x + 1 se x for par

logo f(x) = x + 1

x + 1 = 2x + 1

x = 0

Logo temos 1 solução

[undefinied3]

[tex3]f(2x) \rightarrow[/tex3] o número em questão é par [tex3]f(2x)=2x+1[/tex3]
[tex3]f(x)=2x+1[/tex3]
Mas [tex3]f(x)=x+1[/tex3] se x é par e [tex3]f(x)=x-1[/tex3] se x for ímpar. Suponha x par, de modo que:
[tex3]x+1=2x+1 \rightarrow x=0[/tex3] De fato, x é par, então é uma solução.
Suponha x ímpar:
[tex3]x-1=2x+1 \rightarrow x=-2[/tex3], absurdo, pois supomos x ímpar.
Então só há uma solução x=0.