Pré-Vestibular ⇒ Números Complexos FADEP 2017/2018 Tópico resolvido

[Caiocesar999]

(FADEP 2017/2018) A representação das raízes reais e complexas, B, G e H, da equação [tex3]\,\, z^{3} -1= 0\,\,[/tex3] no plano de Argand-Gauss está representada no desenho abaixo:

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As raízes da referida equação são:

a) [tex3]1 ; - \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3 } 2 i ; - \frac 1 2 - \frac{\sqrt 3 } 2 i [/tex3]
b) [tex3]1; \frac 1 2 - \frac{\sqrt 3 } 2 i ; \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3 } 2 i [/tex3]
c) [tex3]1; \frac{\sqrt 3 } 2 + \frac 1 2 i ; \frac{\sqrt 3 } 2 - \frac 1 2 i [/tex3]
d) [tex3]1; -1 ; \frac{\sqrt 3} 2 i [/tex3]
e) [tex3]1; \frac{\sqrt 3 } 2 ; - \frac 1 2 i [/tex3]

Resposta

---

Resposta: a

[jrneliodias]

Caiocesar999,

podemos fazer por fatoração,

[tex3]z^{3} -1= 0[/tex3]

[tex3](z-1)(z^2+z+1)= 0[/tex3]

[tex3]z=1\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,z^2+z+1= 0[/tex3]

[tex3]z-1=0\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\left(z+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}= 0[/tex3]

[tex3]1=-i^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\frac{3}{4}=-\frac{3i^2}{4}[/tex3]

[tex3]z=1\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\left(z+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3i^2}{4}= 0[/tex3]

[tex3]z=1\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\left(z+\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt 3}{2}\right)\left(z+\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt 3}{2}\right)= 0[/tex3]

[tex3]z=1\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,z=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt 3}{2}\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,z=-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt 3}{2}[/tex3]

Espero ter ajudado. Abraço.

[joaopcarvMOD]

[tex3]z^3 \ - \ 1 \ = \ 0 \ \rightarrow[/tex3] Três raízes

[tex3]z^3 \ = \ 1[/tex3]

Vamos colocar tudo na forma trigonométrica :

Para o [tex3]1 \ \longrightarrow[/tex3]

Sendo [tex3]1[/tex3] na forma [tex3]z \ = \ a \ + \ b \ \cdot \ i[/tex3], temos que [tex3]a \ = \ 1[/tex3] e [tex3]b \ = \ 0[/tex3].

O módulo [tex3]m[/tex3] será [tex3]\sqrt{1^2 \ + \ 0^2} \ = \ 1[/tex3].

O argumento é [tex3]arcsen(\frac{0}{1})[/tex3] e [tex3]arrcos(\frac{1}{1}) \ = \ 2 \ \cdot \ K \ \cdot \ \pi, \ K \ \in \ \mathbb{N}[/tex3].

Para o [tex3]z^3 \ \longrightarrow[/tex3]

O módulo de [tex3]z[/tex3] será [tex3]|z|[/tex3] e o argumento [tex3]\theta[/tex3]. Para [tex3]z^3[/tex3], aplicamos De Moivre :

[tex3]z^3 \ = \ |z|^3 \ \cdot \ (cos(3 \ \cdot \ \theta) \ + \ i \ \cdot \ sen(3 \ \cdot \ \theta))[/tex3].

Agora sim, igualando [tex3]\Rightarrow[/tex3]

[tex3]|z|^3 \ \cdot \ (cos(3 \ \cdot \ \theta) \ + \ i \ \cdot \ sen(3 \ \cdot \ \theta)) \ = \ 1 \ \cdot \ (cos(2 \ \cdot \ K \ \cdot \ \pi) \ + \ i \ \cdot \ sen(2 \ \cdot \ K \ \cdot \ \pi)) \ \rightarrow[/tex3]

De imediato, [tex3]|z|^3 \ = \ 1 \ \rightarrow z \ = \ 1[/tex3] pois [tex3]|z| \ \in \ \mathbb{R}[/tex3].

Igualando os argumentos :

[tex3]3 \ \cdot \ \theta \ = \ 2 \ \cdot \ K \ \cdot \ \pi \ \rightarrow[/tex3] Como são [tex3]3[/tex3] raízes, são [tex3]3[/tex3] voltas trigonométricas, então fazemos [tex3]K \ = \ 1,2,3 \ \rightarrow[/tex3]

Para [tex3]K \ = \ 1 \ \longrightarrow[/tex3]

[tex3]3 \ \cdot \ \theta_1 \ = \ 2 \ \cdot \ 1 \ \cdot \ \pi \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\theta_1 \ = \ \frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}} \ \rightarrow[/tex3] E para isso, temos :

[tex3]z_1 \ = \ \cancelto{1}{|z|} \ \cdot \ (cos(\cancelto{\frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}}{\theta_1}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\cancelto{\frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}}{\theta_1})) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]z_1 \ = \ cos(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\frac{2 \ \cdot \ \pi}{3}) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{z_1 \ = \ \frac{-1 \ + \ i \ \cdot \ \sqrt{3}}{2}}}[/tex3]

Para [tex3]K \ = \ 2 \ \longrightarrow[/tex3]

[tex3]3 \ \cdot \ \theta_2 \ = \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ \pi \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\theta_2 \ = \ \frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}} \ \rightarrow[/tex3] E para isso, temos :

[tex3]z_2 \ = \ \cancelto{1}{|z|} \ \cdot \ (cos(\cancelto{\frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}}{\theta_2}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\cancelto{\frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}}{\theta_2})) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]z_2 \ = \ cos(\frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\frac{4 \ \cdot \ \pi}{3}) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{z_2 \ = \ \frac{-1 \ - \ i \ \cdot \ \sqrt{3}}{2}}}[/tex3]

Para [tex3]K \ = \ 3 \ \longrightarrow[/tex3]

[tex3]\cancel{3} \ \cdot \ \theta_3 \ = \ 2 \ \cdot \ \cancel{3} \ \cdot \ \pi \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\theta_3 \ = \ 2 \ \cdot \ \pi} \ \rightarrow[/tex3] E para isso, temos :

[tex3]z_3 \ = \ \cancelto{1}{|z|} \ \cdot \ (cos(\cancelto{2 \ \cdot \ \pi}{\theta_3}) \ + \ i \ \cdot \ sen(\cancelto{2 \ \cdot \ \pi}{\theta_3})) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]z_3 \ = \ cos(2 \ \cdot \ \pi) \ + \ i \ \cdot \ sen(2 \ \cdot \ \pi) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{z_3 \ = \ 1}}[/tex3]

[Caiocesar999]

Obrigado pelas resoluções, consegui compreender!
jrneliodias, tenho uma certa dificuldade em fatorar polinômios. Eu conseguiria obter o mesmo resultado caso efetuasse a divisão do polinômio por z-1 (utilizando o algoritmo de Briot-ruffini) e calculasse posteriormente as raízes do quociente da divisão?

[jrneliodias]

Caiocesar999, sim, você poderia efutuar a divisão. Daria o mesmo resultado. Lembrando que usei um produto notável básico,

[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]

Acredito que a base em fatoração é essencial para aprender matemática.

Espero ter ajudado. Abraço.

[Caiocesar999]

Sim, é realmente bem básico, não e lembrava dessa diferença de cubos.
Ficaria bastante agradecido se você pudesse resolver esse outro problema : viewtopic.php?f=1&t=59150 .