Concursos Públicos ⇒ Geometria Espacial: Pirâmide e Cubo Tópico resolvido

[PRDias]

(CFO-PMMG) A água da chuva é recolhida em um pluviômetro em forma de pirâmide quadrangular regular. Sabendo que a água alcança a altura de 9 cm e forma uma pequena pirâmide de 15 cm de aresta lateral, e que essa água é vertida em um cubo de 10 cm de aresta, a altura alcançada pela água no cubo é:

[Kiyoshi]

Volume de uma piramide quadrangular [tex3]V=\frac{SB*h}{3}[/tex3]

Aresta Lateral = 15cm
Altura = 9cm

Se pegarmos o Triangulo e cortarmos no meio podemos imaginar o seguinte:
Aresta lateral sendo a hipotenusa e a altura sendo o cateto adjacente. Usaremos o teorema de pitagoras

[tex3]a^2+b^2=c^2[/tex3]
[tex3]8^2+b^2=15^2[/tex3]

A base desse triângulo é a metade da diagonal(d/2) do quadrado

[tex3]8^2+(\frac{d}{2})^2=15^2[/tex3]
[tex3]81+(\frac{d}{2})^2=225[/tex3]
[tex3](\frac{d}{2})^2=225-81[/tex3]
[tex3]\frac{d^2}{4}=144[/tex3]
[tex3]d^2=144*4[/tex3]
[tex3]d^2=576[/tex3]
[tex3]d=\sqrt{576}[/tex3]
[tex3]d=24cm[/tex3]

[tex3]24=L\sqrt 2[/tex3]

[tex3]L=12\sqrt 2[/tex3]

[tex3]V=\frac{(12\sqrt 2)^2\cdot 9}{3}=864cm^3[/tex3]

Decompondo-a como se tivesse os mesmos lados que um quadrado
A piramide = 10x10x8,64cm
O cubo = 10x10x10

altura da água no cubo=[tex3]8,64cm[/tex3]

[PRDias]

Agradeço seu empenho e dedicação. Segundo consta no gabarito do concurso a resposta é 8,64 cm. Tentei fazer é só cheguei a 6,75 cm. Obrigado.

[cajuADMIN]

Olá a todos,

PRDias, você nunca deve se fiar no gabarito dado. A resolução do Kiyoshi está com o raciocínio correto, ele apenas errou uma continha na seguinte passagem:

[tex3]\frac{d^2}{4}=144[/tex3]

[tex3]d^2=\frac{144}{4}[/tex3]

Apenas passando os olhos na resolução dele você podia ter visto o erro e feito corretamente que acharia o resultado correto. Vou continuar de onde ele errou:

[tex3]\frac{d^2}{4}=144[/tex3]

[tex3]d^2=144\cdot 4[/tex3]

[tex3]d=24 cm[/tex3]

Este é o valor da diagonal da base. Sabendo que a diagonal [tex3]d[/tex3] de um quadrado em função do seu lado [tex3]L[/tex3] é dado pela fórmula [tex3]d=L\cdot\sqrt 2[/tex3], podemos encontrar o valor do lado do quadrado da base da pirâmide de altura [tex3]9[/tex3].

[tex3]24=L\sqrt 2[/tex3]

[tex3]L=12\sqrt 2[/tex3]

Assim, o volume da pirâmide é dado por

[tex3]V=\frac{A_{base}\cdot h}{3}=\frac{(12\sqrt 2)^2\cdot 9}{3}=864cm^3[/tex3]

O cubo sem estar totalmente preenchido pode ser visto como um prisma de base quadrada, onde a altura será a altura da água:

[tex3]V=A_{\text{base}}\cdot h\rightarrow 864=10^2\cdot h\rightarrow h=8,64 cm[/tex3]

[PRDias]

Bela explicação prof., agradeço pelas dicas. Realmente foi falta de atenção minha mesmo, valeu.

[Kiyoshi]

nussa que coisa feia >.< já corrigi, vlw professor