Ensino Médio ⇒ Esfera - Terra - Plano - Paralelo Terrestre Tópico resolvido

[ismaelmat]

64.535-Consideremos a Terra como uma esfera de centro C e raio R. Qualquer plano secante à superfície terrestre e perpendicular ao seu eixo de rotação determina nessa superfície uma circunferência chamada de paralelo terrestre. Sejam A e B dois ponto distintos de um paralelo de raio R [tex3]\sqrt{3}[/tex3]/3. Se um navio, indo de A até B, sobre esse paralelo, percorre 120º, então a medida [tex3]\alpha [/tex3] do ângulo AC^B é:

a)30º

b)150º

c)90º

d)60º

e)120º

Gabarito:

Resposta

---

d

[joaopcarvMOD]

Veja este esquema bem esboçado [tex3]\Rrightarrow[/tex3]

esbocoesferico.jpg (82 KiB) Exibido 3524 vezes

Por mais que o esquema não seja tão estético, vamos usá-lo :

O plano secante forma, nos limites da Terra, uma circunferência (a de borda vermelha) de centro [tex3]X[/tex3] e de raio [tex3]r \
= \ \dfrac{\overbrace{R}^{Raio \ da \ Terra} \ \cdot \ \sqrt{3}}{3}[/tex3]. Sejam [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] pontos pertencentes, primeiramente, à esfera terrestre, e que pertencem à dita circunferência.

Logo, [tex3]AX \ = \ BX \ = \ r.[/tex3] Além disso, o ângulo entre os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] formam, no plano da circunferência (paralelo terrestre), [tex3]A\widehat{X}B \ = \ 120^\circ.[/tex3]

Lei do Cosseno, no [tex3]\Delta ABX,[/tex3] para o ângulo [tex3]A\widehat{X}B \ = \ 120^\circ \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]AB^2 \ = \ AX^2 \ + \ BX^2 \ - \ 2 \ \cdot \ AX \ \cdot \ BX \ \cdot \ cos(A\widehat{X}B) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]AB^2 \ = \ \bigg(\dfrac{R \ \cdot \ \sqrt{3}}{3}\bigg)^2 \ + \ \bigg(\dfrac{R \ \cdot \ \sqrt{3}}{3}\bigg)^2 \ - \ \cancel{2} \ \cdot \
\dfrac{R \ \cdot \ \cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{3}} \ \cdot \ \dfrac{R \ \cdot \ \cancel{\sqrt{3}}}{3} \ \cdot \ \dfrac{-1}{\cancel{2}} \
\rightarrow[/tex3]

[tex3]AB^2 \ = \ \dfrac{R^2}{3} \ + \ \dfrac{R^2}{3} \ + \ \dfrac{R^2}{3} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]AB^2 \ = \ R^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{AB \ = \ R}[/tex3]

Agora veja o [tex3]\Delta ABC.[/tex3] Lembrando que [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] pertencem à esfera, a distância deles até o centro da Terra [tex3]C \ = \ AC \ = \ BC \ = \ R.[/tex3]

Portanto, veja que o [tex3]\Delta \ ABC[/tex3] é equilátero de lado [tex3]R[/tex3], o que significa que os seus três ângulos, dentre os quais está o procurado [tex3]A\widehat{C}B,[/tex3] valem [tex3]60^\circ.[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{A\widehat{C}B \ = \ 60^\circ}} \ \Rrightarrow \ Alternativa \ 'd)'![/tex3]