Ensino Médio ⇒ Esfera - Plano - Questão Hard Tópico resolvido

[ismaelmat]

63.535-Um plano [tex3]\alpha [/tex3] dista 12cm do centro O de uma esfera e nela determina uma secção de centro O' e raio 16cm. Um plano [tex3]\beta [/tex3] é tangente a essa esfera em um ponto T e possui uma reta r em comum com [tex3]\alpha [/tex3]. sendo 48cm a distância entre T e r. Calcule a distância entre O e r.

Gabarito:

Resposta

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52cm

[joaopcarvMOD]

Hard foi é fazer o desenho... kkkkkkkk

Enfim, está aí :

DESENHOHARD.jpg (72.7 KiB) Exibido 1571 vezes

Está bem difícil de entender, eu sei, mas... né kk

A primeira coisa que tem de se lembrar é que uma distância entre ponto e reta é [tex3]\perp[/tex3] à reta. Ou seja, a distância [tex3]OO' \ = \ 12 \ cm[/tex3] é perpendicular ao diâmetro da circunferência formada pelo plano [tex3]\alpha[/tex3].

Além disso, [tex3]O'T'[/tex3] é um raio dessa circunferência, ou seja, [tex3]O'T' \ = \ 16 \ cm[/tex3].

Por fim, [tex3]OT'[/tex3] é um raio da esfera.

Pitágoras em [tex3]OO'T'[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]OT'^2 \ = \ OO'^2 \ + \ O'T'^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]OT'^2 \ = \ 12^2 \ + \ 16^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]OT ' = \sqrt{400} \ \rightarrow \ \boxed{OT' \ = \ 20 \ cm}[/tex3] é o raio da esfera.

Como [tex3]T[/tex3] é um ponto de tangência, existe um dos infinitos raios da esfera que é perpendicular à distância [tex3]Tr \ = \ 48 \ cm[/tex3].

Ou seja, sendo [tex3]OT \ = \ 20 \ cm[/tex3] um raio da esfera e [tex3]Tr \ = \ 48 \ cm[/tex3] [tex3]\perp[/tex3] entre si, podemos montar um Pitágoras para achar [tex3]Or[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]Or^2 \ = \ Tr^2 \ + \ OT^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]Or^2 \ = \ 48^2 \ + \ 20^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]Or^2 \ = \ 2704 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]Or \ = \ \sqrt{2704} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{Or \ = \ 52 \ cm}}[/tex3] é a distância do centro da esfera [tex3]O[/tex3] à reta [tex3]r[/tex3].

[ismaelmat]

Muito obrigado joaocarv por estar sempre me ajudando com as questões! valeu mesmo cara por ter se esforçado em me ajudar nessa questão

[joaopcarvMOD]

De nada! Fico feliz pelo reconhecimento Esta questão em si tem muito o modelo de questão da Fuvest de segunda fase... de onde você a tirou?

E eu que agradeço por postar as suas questões, muito bom para estudar e dissertar

[joaopcarvMOD]

que nem eu falei, a questão em si não foi o difícil, mas sim fazer um desenho bom para isso. Espero que tenha entendido esse desenho confuso

[ismaelmat]

Eu tirei do livro do manoel paiva!