Olimpíadas ⇒ (OMM-2009)-Permutação (fila de pessoas)

[paulo testoniMOD]

(OMM - 2009) De quantas maneiras podemos formar uma fila de [tex3]10[/tex3]
pessoas de modo que tanto Bernardo quanto Carlos estejam atrás de Alberto
e na frente de Daniel?
a) [tex3]2 * 7![/tex3]
b) [tex3]\frac{10!}{4}[/tex3]
C) [tex3]\frac{10!}{12}[/tex3]
D) [tex3]\frac{10!}{4}[/tex3]

[jacobi]

(OMM - 2009) De quantas maneiras podemos formar uma fila de [tex3]10[/tex3]
pessoas de modo que tanto Bernardo quanto Carlos estejam atrás de Alberto
e na frente de Daniel?
a) [tex3]2 * 7![/tex3]
b) [tex3]\frac{10!}{4}[/tex3]
C) [tex3]\frac{10!}{12}[/tex3]
D) [tex3]\frac{10!}{4}[/tex3]

Considerando as 4 pessoas envolvidas --> 4!/2! = 12.
Daí, como são 10 pessoas, então temos 10!/12.

[paulo testoniMOD]

Hola.

Observe que o número de maneiras de Bernardo e Carlos estarem atrás de Alberto e na frente de Daniel, com Bernardo na frente de Carlos, é o mesmo do que o número de maneiras de isso acontecer com Carlos na frente de Bernardo. De fato, para qualquer posição relativa entre os quatro, o número de maneiras de se formar uma fila de 10 pessoas é igual.
Há [tex3]4! = 24[/tex3] posições relativas diferentes no total. O número total de filas, sem qualquer restrição, que podem ser feitas é [tex3]10![/tex3]. Sendo assim, o número de maneiras de se formar filas diferentes para uma dada posição relativa é [tex3]\frac{10!}{24}[/tex3]

Como o enunciado permite apenas duas posições relativas entre Alberto, Bernardo, Carlos e Daniel, o número de maneiras é dado por:
[tex3]2*\frac{10!}{24} = \frac{10!}{12}[/tex3]