Ensino Superior ⇒ Estruturas Algébricas: Anéis Tópico resolvido

[melry07]

Alguém tem as demonstrações das propriedades de um anel [tex3](A,+,.)?[/tex3]

Por exemplo:

P1) [tex3]0_A[/tex3] é unico
P2) [tex3]{-}a[/tex3] é unico

Se tiverem me ajudem.

[deOliveira]

[tex3](A,+,\cdot)[/tex3] é um anel.

P1) Temos que [tex3]0_A+a=a[/tex3] para todo [tex3]a\in A[/tex3] suponha que [tex3]0_A'\in A[/tex3]. Seja outro elemento neutro, então temos:
[tex3]0_A+0'_A=0_A\\\therefore0'_A=0_A[/tex3]

P2) Temos que para todo [tex3]a\in A[/tex3] existe [tex3]-a\in A[/tex3] tal que [tex3]a+(-a)=0_A[/tex3]. Seja [tex3]a'[/tex3] outro elemento oposto de [tex3]a[/tex3], então temos que

[tex3](a+a')+(-a)=-a[/tex3] usando a associatividade temos:
[tex3](a+(-a))+a'=-a\\0_A+a'=-a\\\therefore a'=-a[/tex3]

Espero ter ajudado .