Pré-Vestibular ⇒ (UFMS) Trigonometria no triângulo retângulo + cinemática

[Jhonatan]

Dois projéteis são lançados em linha reta reta de um mesmo ponto no solo, um para a direita, numa direção que forma 30º com a horizontal, e o outro para a esquerda, com trajetória formando 45º com a horizontal. Sabendo-se que os dois têm velocidades iguais a 80 metros por minuto, qual é a diferença, em centímetros, entre as alturas, em relação ao solo, atingidas pelos projéteis 7,5 segundos após o lançamento ?
Use: √2 = 1,41 e √3 = 1,73

a) 320 cm
b) 205 cm
c) 114 cm
d) 73 cm
e) 41 cm

R: b)

Pessoal, eu tentei aqui resolver a questão, mas só consegui a diferença de 423cm. Fiz assim: usei a fórmula da velocidade pra descobrir o deltaS, logo, ficou v = 4/3 m/s e deltaT = 7,5s. Colocando na fórmula, a gente acha o deltaS = 10m.
Fiz dois triângulos retângulos, com a base igual pra ambos sendo 10m e apliquei a tangente nos dois casos (sendo que um com o âng de 30º e o outro com 45º) e descobri h = 17,3/3 m e H = 10m. Fiz a diferença e consegui 12, 7/3 m. Passei pra cm e consegui 423 cm. Onde errei ?

[snooplammer]

[tex3]V=\frac{4}{3}m/s[/tex3]

[tex3]d=vt=4/3\cdot 7,5=10m[/tex3]

Distância do projétil em 7,5 segundos do ponto inicial é igual a 10.

Usando o triângulo com 30º:

[tex3]\tan60^{\circ}=\frac{10}{h_1}[/tex3]

[tex3]\sqrt{3}=\frac{10}{h_1}\therefore h_1=\frac{10\sqrt{3}}{3}m[/tex3]

Usando o triângulo com 45º

[tex3]\tan45^{\circ}=\frac{10}{h}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{10}{h_2}\therefore h_2=10\sqrt{2}m[/tex3]

[tex3]\Delta H=h_2-h_1=10\sqrt{2}-\frac{10\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[tex3]\Delta H=\frac{25}{3}m≅8,34m=834cm[/tex3]

Achei isso como resposta, irei ver se errei em algo, mas acho que está tudo certo

[Jhonatan]

Amigo, nesse último caso você calculou como sendo um âng = 60º, mas na verdade é 30º. E eu fiz assim também, só que o meu 10m ficou sendo a base, isto é, o cateto adjacente do triângulo retângulo.
Ficou tg30º = h/10 e tg45º = H/10

[snooplammer]

Eu usei 10m como base. Quando é dito que forma um ângulo de 30º com a horizontal, se eu não estou errando, fica algo assim:

tring.png (3.4 KiB) Exibido 4128 vezes

[Jhonatan]

Sim, amigo, exatamente assim. Então, tendo como cateto adjacente de 30º sendo 10m (deslocamento horizontal), o nosso cateto oposto ao 30º seria nossa altura. Como são 2 figuras, teríamos de achar 2 alturas diferentes e fazer a diferença delas. Mas eu fiz e só cheguei em 423cm. Não vejo como ser outro valor.

[snooplammer]

Jhonatan, entendi o que quis dizer agora. Mas poderíamos ter as duas possibilidades

Se forma um ângulo de 45º irá ter 45º no outro também

1 possibilidade:

[tex3]\tan45º=\frac{h_2}{10}[/tex3]


2 possibilidade:

[tex3]\tan45º=\frac{10}{h_2}[/tex3]

nenhum dos dois resultara em um resultado que coincida com as alternativas ou o gabarito

[Jhonatan]

Então deve ser erro de gabarito mesmo, né ? O resultado que consegui (423cm) está certo ?

[snooplammer]

Então deve ser erro de gabarito mesmo, né ? O resultado que consegui (423cm) está certo ?

Acredito que não tenha alternativa correta. pois respectivamente teremos nas possibilidades [tex3]10\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]5\sqrt{2}[/tex3]

isso daria que [tex3]\Delta H[/tex3] é [tex3]833cm[/tex3] ou [tex3]129cm[/tex3]