IME / ITA ⇒ (ITA - 2001) Equação Exponencial Tópico resolvido

[Natan]

Se [tex3]a \in \mathbb{R}[/tex3] é tal que [tex3]3y^{2}-y+a=0[/tex3] tem raiz dupla, então a solução da equação [tex3]3^{2x+1}-3^{x}+a=0[/tex3] é:

a) [tex3]\log_{2}6[/tex3]
b) [tex3]\text{colog}_2 6[/tex3]
c) [tex3]\log_{3}6[/tex3]
d) [tex3]\text{colog}_3 6[/tex3]
e) [tex3]1- \log_3 6[/tex3]

[Thadeu]

Se a primeira equação possui raiz dupla, logo [tex3]\,\triangle\,=0[/tex3]

• [tex3]\triangle\,= (-1)^2-4\cdot 3\cdot a\,\Rightarrow\,\,\triangle\,=1-12a\,\Rightarrow\,1-12a=0\,\Rightarrow\,a=\frac{1}{12}[/tex3]

Na 2ª equação, para simplificar, fazendo [tex3]3^x=k[/tex3]:

• [tex3]3^{2x}\cdot 3^1-3^x+\frac{1}{12}=0\,\Rightarrow\,3\cdot (3^x)^2-(3^x)+\frac{1}{12}=0\,\Rightarrow\,3k^2-k+\frac{1}{12}=0\\\triangle =(-1)^2-4\cdot 3\cdot \frac{1}{12}\,\Rightarrow\,\triangle =1-1=0\\k=\frac{-(-1)}{2\cdot 3}\,\Rightarrow\,k=\frac{1}{6}[/tex3]

Voltando para [tex3]x:[/tex3]

• [tex3]3^x=\frac{1}{6}\,\Rightarrow\,\log 3^x = \log 6^{-1}\,\Rightarrow\,x\log 3=- \log 6\,\Rightarrow\,x=-\,\frac{\log 6}{\log 3}\,\Rightarrow\,x=-\log_36\\x = \text{colog}_36[/tex3]

Resposta: d