Ensino Superior ⇒ calc Tópico resolvido

[carlosantonio]

usando a derivada logaritmica calcule y' onde y = x elevado a x²

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]y=x^{x^2}[/tex3]


Aplicando ln nos dois membros da igualdade, vem;

[tex3]ln(y)=ln(x^{x^2})[/tex3]

[tex3]ln(y)=x^2.ln(x)[/tex3]

[tex3]y=e^{x^2.ln(x)}[/tex3]


Derivando e aplicando a regra da cadeia, vem;

[tex3]y'=[e^{x^2.ln(x)}]'[/tex3]

[tex3]y'=e^{x^2.ln(x)}.[x^2.ln(x)]'[/tex3]

[tex3]y'=e^{x^2.ln(x)}.\{(x^2)'.ln(x)+x^2.[ln(x)]'\}[/tex3]

[tex3]y'=e^{x^2.ln(x)}.\left[2x.ln(x)+x^2.\frac{1}{x}\right][/tex3]

Mas , [tex3]y=e^{x^2.ln(x)}[/tex3] , então,

[tex3]y'=y.\left[2x.ln(x)+x\right][/tex3]

Como [tex3]y=x^{x^2}[/tex3] , logo,

[tex3]y'=x^{x^2}.\left[x+2x.ln(x)\right][/tex3]

Ou

[tex3]y'=x^{x^2+1}.\left[1+2.ln(x)\right][/tex3]


Bons estudos!