Ensino Superior ⇒ Reta Tangente vertical Tópico resolvido

[gabrielb44]

Considere a lemniscata de equação:

[tex3](x^2+y^2)^2 = x^2-y^2[/tex3]

Determine os dois pontos da lemniscata em que as tangentes são verticais.

Eu adaptei o problema, o original pedia também os pontos em que a reta tangente é horizontal, mas esses pontos eu consegui achar.
Já procurei na internet mas não achei nenhum lugar que explica como achar os pontos em que a reta tangente é vertical.
Se alguém poder pelo menos me explicar como descobrir os pontos em que a reta é vertical me ajudaria bastante.
Grato.

Gabriel Leite
Estudante de Ciência da Computação

[jomatlove]

Olà
Para achar o ponto de uma curva onde a reta é tangente,obtemos a derivada e igualamos a zero.Já no caso,da reta vertical,achamos a função derivada
e obtemos os pontos para os quais a derivada não existe.
Vou dá um exemplo simples:considere uma função f(x) cuja derivada é a função [tex3]f'(x)=\frac{x+3}{x-5}[/tex3]
O ponto onde a reta tangente é horizontal é dado por x+3=0 ou x=3(pois nesse ponto f'(x)=0)
O ponto onde a reta é vertical é dado por x-5=0 ou x=5(pois nesse ponto f'(x) não existe)
Deu pra entender?
Qualquer duvida,é só falar.

[Auto Excluído (ID:12031)]

outra saída é derivar em relação a y ao invés de x e dizer que x'=0

no caso: 2(x²+y²)(2y) = - 2y então y=0 o que dá x^4 = x² então x=0 ou x = +/- 1 deu 3 pontos, meio estranho.

Acho que no ponto (0,0) a derivada não é clara porque a equação fica da forma 0 = 0 independente da derivada, o que conta são os extremos +/-1

[gabrielb44]

outra saída é derivar em relação a y ao invés de x e dizer que x'=0

no caso: 2(x²+y²)(2y) = - 2y então y=0 o que dá x^4 = x² então x=0 ou x = +/- 1 deu 3 pontos, meio estranho.

Não entendi como você chegou em 2(x²+y²)(2y) = - 2y
Você poderia me explicar melhor?

Sobre o ponto (0, 0): acho que não está clara porque existem duas retas tangentes possíveis nesse ponto, o gráfico dessa equação é como um sinal de infinito, com o centro do gráfico no ponto (0, 0).

Os pontos onde a tangente é vertical são exatamente esse que você concluiu: (-1, 0) e (1, 0)
A sua resolução está correta.

Eu só não entendi como descartaria o ponto (0, 0) das respostas se eu não tivesse visto o gráfico.

Caso ajude, segue a derivada [tex3]\left(\frac{dy}{dx}\right)[/tex3]:

y' = [tex3]\frac{x(1-2x^2-2y^2)}{y(1+2x^2+2y^2)}[/tex3]

Obrigado.

[gabrielb44]

Olà
Para achar o ponto de uma curva onde a reta é tangente,obtemos a derivada e igualamos a zero.Já no caso,da reta vertical,achamos a função derivada
e obtemos os pontos para os quais a derivada não existe.
Vou dá um exemplo simples:considere uma função f(x) cuja derivada é a função [tex3]f'(x) = \frac{x+3}{x - 5}[/tex3]
O ponto onde a reta tangente é horizontal é dado por x+3=0 ou x=3(pois nesse ponto f'(x)=0)
O ponto onde a reta é vertical é dado por x-5=0 ou x=5(pois nesse ponto f'(x) não existe)
Deu pra entender?
Qualquer duvida,é só falar.

Cara, eu entendi o raciocínio, me ajudou bastante, mas eu continuo com um problema:

A derivada da função em relação a x é:

[tex3]y' = \frac{x(1-2x^2-2y^2)}{y(1+2x^2+2y^2)}[/tex3]

[tex3]\therefore y'=\nexists [/tex3] se [tex3]y=0[/tex3] ou [tex3](1+2x^2+2y^2)=0[/tex3]

Existem 3 valores de [tex3]x[/tex3] em que [tex3]y=0[/tex3]:
[tex3]x=0, x=\pm 1[/tex3]

E não existem valores reais que satisfazem: [tex3](1+2x^2+2y^2)=0[/tex3]

Portanto, algebricamente, eu teria 3 pontos possíveis onde a derivada não existe.
Porém, graficamente, apenas nos pontos (-1,0) e (1,0) a reta tangente é vertical.

A minha dúvida é:
Como saber, sem ver o gráfico, que o ponto (0,0) não tem reta tangente vertical, já que a derivada não existe nesse ponto?

Agradeço sua ajuda.

[Auto Excluído (ID:12031)]

vc pode parametrizar a lemniscata com coordenadas polares:
[tex3]x = r \cos(\theta)[/tex3] e [tex3]y = r\sen (\theta)[/tex3]
a equação dá [tex3]r^2 = \cos(2\theta)[/tex3] para [tex3]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac {\pi}2 ][/tex3] (fora disso o cos(2teta) fica negativo )
logo [tex3]x = \cos( \theta ) \sqrt{\cos(2\theta)}[/tex3] e [tex3]y = \sen(\theta) \sqrt{\cos(2\theta)}[/tex3]
dada a expressão da derivada que você apresentou um jeito de provar que a derivada não existe em 0 é substituir x e y pelas expressões que eu te mostrei a cima e fazer o limite de [tex3]\theta \rightarrow \frac {\pi}4[/tex3] e [tex3]\theta \rightarrow- \frac {\pi}4[/tex3] e ver que eles são diferentes e dão mais ou menos um.
Isto elimina essa ambiguidade justamente porque a expressão [tex3]r^2 = \cos(2\theta)[/tex3] é uma simplificação válida pra todo ponto diferente de (0,0) uma vez que dividimos a expressão original: [tex3]r^4 = r^2 \cos(2\theta)[/tex3] por [tex3]r^2[/tex3] assumindo assim que [tex3]r^2 \neq 0[/tex3] o que NÃO ocorre apenas no ponto (0,0) uma vez que o limite não liga pro valor da função no ponto essa forma permite encontrar as derivadas na origem isso não acontece de forma obvia na expressão em coordenadas x e y.

olha:
[tex3]y' = \frac{x(1-2x^2-2y^2)}{y(1+2x^2+2y^2)}[/tex3]
[tex3]y' = \frac{\cos( \theta ) \sqrt{\cos(2\theta)}(1-2(x^2+y^2))}{\sen( \theta ) \sqrt{\cos(2\theta)}(1+2(x^2+y^2))}[/tex3]
[tex3]y' = \frac{\cos(\theta)(1-2\cos(2\theta))}{\sen(\theta)(1 + 2\cos(2\theta))}[/tex3]
como nos limites que nos interessam : [tex3]\cos (2 \theta ) \rightarrow 0[/tex3] nesses casos [tex3]y' \rightarrow \frac{\cos(\theta)}{\sen(\theta)}[/tex3] quando [tex3]\theta \rightarrow \frac {\pi}4[/tex3] vai dar 1, quando [tex3]\theta \rightarrow -\frac{\pi}4[/tex3] vai dar -1.
Logo a derivada não existe em (0,0).

[gabrielb44]

Nossa cara. Eu já tava olhando em alguns livros de cálculo em inglês, mas não tinha conseguido resolver ainda.
Dessa forma aí não resta dúvidas.
Muito obrigado!

[lupamat]

(x²+y²)^2=x²-y²

Nesse caso, temos uma equação dada na forma implícita. Vc terá q fazer derivação implícita para obter a reta tangente

Primeiramente, escreva a curva como F(x,y)=C, onde F(x,y) é uma expressão q está em função de x e y, e C uma constante:

(x²+y²)^2-x²+y²=0

Em seguida, calcule as derivadas parciais da expressão F(x,y) em relação a cada variável. Chamaremos a derivada parcial em relação a x de Fx, e em relação a y de Fy. Derivada parcial é vc derivar em relação a uma variável, enquanto a outra fica constante.

Fx = 2(x²+y²)*2x-2x = 2x(2(x²+y²)-1)
Fy = 2(x²+y²)*2y+2y = 2y(2(x²+y²)+1)

Assim, a inclinação da reta tangente à curva num ponto genérico (x,y) é dada por:

dy/dx = -Fx/Fy

Nesse caso: dy/dx = -(x(2(x²+y²)-1))/(y(2(x²+y²)-1))

No caso, vc quer saber onde a reta tangente é vertical. Ela é vertical nos pontos onde Fx ≠ 0, e Fy = 0. Ou seja, ao vc tentar calcular a inclinação da reta (dy/dx), vc obterá uma fração a/0 com a ≠ 0. Já como achar esses pontos no caso da sua equação, infelizmente não sei