Física I ⇒ Constante elástica - IFF 2014 Tópico resolvido

[Camila123]

Considere uma pequena massa m, presa à extremidade de uma mola de constante elástica k. Essa massa descreve
um Movimento Harmônico Simples (MHS) sobre uma superfície plana e sem atrito, e sua velocidade em qualquer
instante de sua trajetória pode ser obtida através da equação geral:

[tex3]\large{v(t)=-wA\sen(wt+\varphi )}[/tex3]

A figura abaixo ilustra o instante do início do movimento MHS e o ponto 0 é a posição de relaxamento da mola.

mola.png (11.4 KiB) Exibido 1331 vezes

Sabendo que a frequência desse movimento vale 0,5Hz, assinale a alternativa que contém a equação v(t)
correspondente à situação descrita:

a) [tex3]v(t)= -3\pi \sen(\pi t+\pi )[/tex3]
b) [tex3]v(t)= -2\pi \sen(\pi t+\pi )[/tex3]
c) [tex3]v(t)= -\frac{3\pi}{2} \sen(\pi t+\pi )[/tex3]
d) [tex3]v(t)= -\frac{3\pi}{2} \sen\(\pi t+\frac{\pi}{2}\)[/tex3]
e) [tex3]v(t)= -3\pi \sen\(\pi t+\frac{\pi}{2}\)[/tex3]

[fismatpina]

Da figura temos que:

A = 1,5m

Sabemos que num MHS, v = 0 nos pontos extremos da trajetória:

v(1,5) = 0

-w(1,5).sen(1,5w + fi) = 0

Sabemos também que w = 2 [tex3]\pi [/tex3] f => w = [tex3]\pi [/tex3]

sen(1,5 [tex3]\pi [/tex3] + fi) = sen(2k [tex3]\pi [/tex3])

1,5 [tex3]\pi [/tex3] + fi = 2k [tex3]\pi [/tex3]

fi = (2-1,5)[tex3]\pi [/tex3]

fi = 0,5 [tex3]\pi [/tex3]

Finalmente, podemos escrever a equação da velocidade completa:

v(t) = -1,5 [tex3]\pi [/tex3] sen([tex3]\pi t[/tex3] + 0,5 [tex3]\pi [/tex3])

Letra D

[Camila123]

Sabemos também que w = 2 [tex3]\pi [/tex3] f => w = [tex3]\pi [/tex3]

Como você soube que w=2 [tex3]\pi [/tex3]? A resposta na verdade é letra C no gabarito

[fismatpina]

Minha solução está equivocada porque considerei o tempo igual à distância o que não necessariamente está correto, aí não encontrei o "fi" corretamente.

Corrigindo:

Como v(0) = 0, temos que:

sen(fi) = 0 => fi = [tex3]\pi k[/tex3], [tex3]k \in [/tex3] inteiros

Logo fi = [tex3]\pi [/tex3]

A definição [tex3]w[/tex3] = 2 [tex3]\pi f[/tex3] é conhecida, talvez você esteja mais familiarizada com a [tex3]w[/tex3] = 2 [tex3]\pi [/tex3]/T e como [tex3]f[/tex3] = 1/T temos as duas definições.

No enunciado é fornecida a frequência de 0,5Hz, logo substituindo na definição você encontra [tex3]w = \pi [/tex3]

Finalmente você chega na alternativa C. Eu apenas errei na hora de calcular o "fi", mas basta analisar no instante inicial em que a velocidade é nula para determinar o "fi" (lembrando que "fi" representa a fase). Obrigado por me corrigir, nem percebi na hora. Se ainda restaram dúvidas pode perguntar!

[Camila123]

Na expressão -wAsen(wt+φ)
O "A" significa tempo ou distancia? E a letra fi(que seria φ) significa força?(nunca tinha visto essa letra
antes em matéria de constante elástica). Estou tentando entender cada icógnita, porque meu maior
problema é entender essa formula f(t) do enunciado.

[fismatpina]

Na expressão -wAsen(wt+φ)
O "A" significa tempo ou distancia? E a letra fi(que seria φ) significa força?(nunca tinha visto essa letra
antes em matéria de constante elástica). Estou tentando entender cada icógnita, porque meu maior
problema é entender essa formula f(t) do enunciado.

A = amplitude do movimento, nesse caso é 1,5m (o movimento vai de -A até A passando pela posição de equilíbrio)

φ ("fi") = fase inicial do MHS, porque fazemos aquela analogia do MHS com um movimento circular (o φ seria o arco inicial)

Essa é a fórmula da velocidade em função do tempo existe também a da posição (basta integrar a de velocidade) e da aceleração (basta derivar a de velocidade) em função do tempo:

x(t) = Acos(wt + φ)

a(t) = -w²Acos(wt + φ)

Recomendo estudar os movimentos harmônicos simples (MHS) para que as definições façam mais sentido, boa sorte!

[Camila123]

a formula de fi é fi=[tex3]\pi .k[/tex3]
então como o k desaparece na hora de resolver a equação? sendo que:
v(t)= -1.[tex3]\pi .1,5 sen(1.\pi t+fi)[/tex3]
v(t)= -1,5 [tex3]\pi sen(\pi t+\pi .k)[/tex3]