Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2005) Geometria Plana: Área de um Triângulo

[bruninha]

A figura representa duas circunferências de raios [tex3]R[/tex3] e [tex3]r[/tex3] com centros nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B,[/tex3] respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto [tex3]D[/tex3]. Suponha que:

a) As retas [tex3]t_1[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3] são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto [tex3]C[/tex3].
b) A reta [tex3]t_2[/tex3] é tangente às circunferências no ponto [tex3]D[/tex3].

Calcule a área do triângulo [tex3]ABC,[/tex3] em função dos raios [tex3]R[/tex3] e [tex3]r[/tex3].

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[Thales Gheós]

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Vamos marcar os pontos [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] e construir o trapézio [tex3]ABNM[/tex3]

Observe que [tex3]\triangle{BCN}\equiv\triangle{BDC}[/tex3] e [tex3]\triangle{ADC}\equiv\triangle AMC[/tex3] portanto a área do trapézio é:

[tex3]A_{\small{T}}=2.(A_{\small\triangle{ADC}}+A_{\small\triangle{BDC}})[/tex3] ou [tex3]A_{\small{T}}=2.(A_{\small\triangle{ABC}})[/tex3]

sendo [tex3]MN^2=(R+r)^2-(R-r)^2 \Rightarrow MN=2\sqrt{Rr}[/tex3]

[tex3]A_{\small{T}}=\frac{R+r}{2}.(2\sqrt{Rr})\Rightarrow A_{\small\triangle{ABC}}=(R+r).(2\sqrt{Rr})[/tex3]