Ensino Médio ⇒ Posição de um número em relação a uma função de 2o grau Tópico resolvido

[leomaxwell]

Seja a equação [tex3]x^2-mx+2[/tex3]. Determine [tex3]m[/tex3] para que suas raízes [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] satisfaçam à condição [tex3]0 < x_1 \leq x_2 <3[/tex3].

[MatheusBorgesMOD]

Analisando cada caso:
[tex3]0< x1\leq x2\rightarrow a.f(0)>0\rightarrow 1(2)>0\rightarrow \mathbb{R}[/tex3](1)
[tex3]\frac{S}{2}>0\rightarrow \frac{m}{2}>0\rightarrow m>0[/tex3](2)
[tex3]1\cap 2\rightarrow m>0[/tex3](I)
[tex3]x1< x2\leq 3\rightarrow a.f(3)>0\cap \frac{S}{2}<3[/tex3]
[tex3]a.f(3)>0\rightarrow m<\frac{11}{3}[/tex3](1)
[tex3]\frac{m}{2}<3\rightarrow m<6[/tex3](2)
[tex3]1\cap 2\rightarrow m<\frac{11}{3}[/tex3](II)
Agora para as duas temos que ter [tex3]\Delta \geq 0\rightarrow (-m)^{2}-4.2\geq 0\rightarrow m^{2}-8\geq 0\rightarrow m\leq -2 \sqrt{2}\cup m\geq 2\sqrt{2}[/tex3](III)
Temos que ter o produto das raízes maior que 0
[tex3]\frac{c}{a}>0\rightarrow \frac{2}{1}>0\rightarrow \mathbb{R}[/tex3](IV)
[tex3]I\cap II\cap III\cap IV \rightarrow 2\sqrt{2}\leq m<\frac{11}{3} [/tex3]
Se eu não errei nada, é isso.

[leomaxwell]

MafIl10, obrigado pela resposta! Mas vc poderia fazer um pouco mais explicativo, por favor? É que não estou conseguindo entender :/ valeu

[MatheusBorgesMOD]

1)Para uma equação do 2 grau ter uma ou duas raízes temos que ter [tex3]\Delta \geq 0[/tex3]
2) Veja que as raízes tem que ser positivas, então o produto delas deve ser [tex3]\frac{c}{a}>0[/tex3] e a soma [tex3]\frac{-b}{a}>0[/tex3]

Por que se fizessemos só o produto veja: x1=-3 x2=-2
x1.x2=-3.-2=6
Resultado positivo mas não podemos ter raízes negativas vide o enunciado, a soma ja garante que ambas sejam positvas.
3)Depois vem o estudo, dos valores dado, repare que ambos estão ao lado das duas raízes então [tex3]a.f(\alpha )>0[/tex3] para ambos.
4) [tex3]\frac{S}{2a}>0[/tex3] ou seja a média aritmética das raizes maior que 0, assim o 0 está a esquerda delas e fazendo [tex3]3>\frac{S}{2a}[/tex3] garantimos que a média ariméticas das raizes sejam menor que 3 desse modo o 3 está ao lado direito delas, imagine a parábola com a boca pra cima e esses pontos ao lado das raízes e se você fazer a intersecção irá garantir que as raízes estejam entre esses valores [tex3]0< x1\leq x2 <3[/tex3]

[MatheusBorgesMOD]

Leo, errei uma parte mas já corrigi, desculpa.
[tex3]a.f(3)>0\rightarrow 1.((3)^{2}-3m+2)>0\rightarrow -3m>-11\rightarrow m<\frac{11}{3}[/tex3]

[MatheusBorgesMOD]

Fatorando uma equação do 2 graus
[tex3]f(x)=ax^{2}+bx+c\rightarrow a.(x-x1)(x-x2)[/tex3]
Veja como o 3 está a direita das duas raízes x-x1 sera positivo e x-x2 sera positivo, e o produto de duas coisa positivas é +
veja que o sinal da f(x) acompanha o do a pos se o produto (x-x1)(x-x2) é positivo se tivermos a>0 o produto de duas coisas positivas é >0 assim [tex3]a.(x-x1)(x-x2)[/tex3] e se a<0 temos que [tex3]f(x)<0[/tex3].
Agora se eu fizer isso [tex3]f(x)=a(x-x1)(x-x2)\rightarrow a.f(x)=a^{2}(x-x1)(x-x2)[/tex3] você concorda que a.f(x) sempre será maior que 0? pois [tex3]a^{2}>0[/tex3] e [tex3](x-x1)(x-x2)>0[/tex3].
Com o 0 é o mesmo raciocinio. x-x1<0 e x-x2<0 então [tex3](x-x1)(x-x2)>0\rightarrow a.f(x)>0[/tex3]
Ou seja o y de f(0) é maior que 0.
E o y d f(3) é maior que 0.

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Veja que dizendo que o 3 é maior que a média aritimética não garante que o 3 tenha y positivos só garante que ele esteja ao lado direito do Xv(x do vértice ) ou seja se ele estiver entre teremos uma função negativa mas se estiver ao lado das duas raízes ou seja do x2 teremos função positiva e para termos f(3)>0 temos que ter a.f(3)>0 que é o que o exercício disse [tex3]0 < x_1 \leq x_2 <3[/tex3], esse é o pensamento.
Obs: Estou apanhando do geogébra.

[leomaxwell]

Fatorando uma equação do 2 graus
[tex3]f(x)=ax^{2}+bx+c\rightarrow a.(x-x1)(x-x2)[/tex3]
Veja como o 3 está a direita das duas raízes x-x1 sera positivo e x-x2 sera positivo, e o produto de duas coisa positivas é +
veja que o sinal da f(x) acompanha o do a pos se o produto (x-x1)(x-x2) é positivo se tivermos a>0 o produto de duas coisas positivas é >0 assim [tex3]a.(x-x1)(x-x2)[/tex3] e se a<0 temos que [tex3]f(x)<0[/tex3].
Agora se eu fizer isso [tex3]f(x)=a(x-x1)(x-x2)\rightarrow a.f(x)=a^{2}(x-x1)(x-x2)[/tex3] você concorda que a.f(x) sempre será maior que 0? pois [tex3]a^{2}>0[/tex3] e [tex3](x-x1)(x-x2)>0[/tex3].
Com o 0 é o mesmo raciocinio. x-x1<0 e x-x2<0 então [tex3](x-x1)(x-x2)>0\rightarrow a.f(x)>0[/tex3]
Ou seja o y de f(0) é maior que 0.
E o y d f(3) é maior que 0.

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Veja que dizendo que o 3 é maior que a média aritimética não garante que o 3 tenha y positivos só garante que ele esteja ao lado direito do Xv(x do vértice ) ou seja se ele estiver entre teremos uma função negativa mas se estiver ao lado das duas raízes ou seja do x2 teremos função positiva e para termos f(3)>0 temos que ter a.f(3)>0 que é o que o exercício disse [tex3]0 < x_1 \leq x_2 <3[/tex3], esse é o pensamento.
Obs: Estou apanhando do geogébra.

Valeu, cara