Pré-Vestibular ⇒ (UFOP - 2008) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[Doug]

O triângulo [tex3]ABC[/tex3] da figura abaixo está inscrito numa circunferência de raio [tex3]\sqrt{3}\text{ cm}[/tex3]. O lado [tex3]AB[/tex3] é diâmetro da circunferência e a medida do ângulo [tex3]C\hat{A}B[/tex3] é [tex3]30^\circ.[/tex3]

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A área da região sombreada, em [tex3]\text{cm}^2,[/tex3] é:

Resposta

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[tex3]\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex3]

O galera essa caiu na prova da Ufop do vestivular do meio do ano, se alguém puder me ajudar, muito obrigado, abraço e t+

[triplebig]

Chamemos o centra da circumferência de [tex3]O[/tex3] . Para esse exercício usarei a convenção que a área do polígono [tex3]ABC\,=\,[ABC][/tex3] , e de que o setor desse polígono é [tex3]ABC_s[/tex3].

A área pedida vai ser calculada da seguinte maneira:


[tex3]\hspace{50pt}A\,=\,[BCO_s]\,-\,[BCO][/tex3]


Temos pela propriedade de cordas que [tex3]\triangle BCO[/tex3] é equilátero, pois [tex3]\overline{OC}\,=\,\overline{OB}[/tex3] e [tex3]\angle BCO\,=\,60^\circ[/tex3] , pois determina o mesmo arco que [tex3]\angle CAB[/tex3].


Com isso, temos que:


[tex3]\hspace{50pt}BCO_s\,=\,\frac{\frac{\pi}{3}\,\cdot\,\sqrt{3}^2}{2}\,=\,\frac{\pi}{2}[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}BCO\,=\,\frac{\sqrt{3}^2\,\cdot\,\sqrt{3}}{4}\,=\,\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex3]


Ai finalmente:


[tex3]\hspace{50pt}A\,=\,\frac{\pi}{2}\,-\,\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[Doug]

Uhm, eu não estava pensando desse jeito, muito obrigado de novo triplebig, abraço e t+