Ensino Médio ⇒ (PSC 2017) Números Complexos Tópico resolvido

[12345]

51. Consideremos os seguintes números complexos:

z = 2 (cos 30º + i sen 30º) e
w = cos 120º + i sen 120º

Calculando [tex3]z^{12}\cdot w^{12}[/tex3], devemos obter:

a) i
b) 0
c) 1
d) [tex3]2^{12}[/tex3]
e) [tex3]2^{12}[/tex3]

[alevini98]

Poderia redigitar? Não está aparecendo alguns dígitos do enunciado.

[12345]

CONSIDEREMOS OS SEGUINTES NUMEROS COMPLEXOS:
Z=2(COS 30°+I SEN 30°) E
W=COS 120°+I SEN 120°

CALCULANDO Z^12 * W^12, DEVEMOS OBTER:
A)i
B)0
C)1
D)2^12
E)2^24

[alevini98]

[tex3]z^{12}=2^{12}(\cos30\cdot12+i\cdot\sen30\cdot12)\\
z^{12}=2^{12}(\cos360+i\cdot\sen360)\\
z^{12}=2^{12}(1+i\cdot0)\\
z^{12}=2^{12}[/tex3]

[tex3]w^{12}=1^{12}(\cos120\cdot12+i\sen120\cdot12)\\
w^{12}=\cos1440+i\sen1440\\
\boxed{1440°\to0^°}\\
w^{12}=1+i\cdot0\\
w^{12}=1
[/tex3]

[tex3]z^{12}\cdot w^{12}\\2^{12}\cdot1\\2^{12}[/tex3]

[Polímero17]

...
w^{12}=\cos1440+i\sen1440\\
\boxed{1440°\to0^°}\\
w^{12}=1+i\cdot0\\
w^{12}=1
[/tex3]

[tex3]z^{12}\cdot w^{12}\\2^{12}\cdot1\\2^{12}[/tex3]

Alguém poderia me dizer, por favor, como descubro a razão trigonometrica de um número tão alto como esse: sen1440 e cos 1440?

[csmarceloMOD]

[tex3]\sin(\theta+k\cdot2\pi)=\sin\theta[/tex3], pois o período da função seno é [tex3]2\pi[/tex3]. O mesmo vale para o cosseno.

Agora, repare que 1440 é múltiplo de 360.

[tex3]1440=4\cdot360=0+4\cdot2\pi[/tex3].

Logo,

[tex3]\sin1440^\circ=\sin0^\circ[/tex3]

* Usualmente, utiliza-se a notação [tex3]2k\pi[/tex3], ao invés de [tex3]k\cdot2\pi[/tex3].

[Polímero17]

Olá csmarcelo, obrigado por ter respondido.
Até onde vc disse que 1440 é multiplo de 360, eu entendi, mas queria saber se vc substituiu aquele "0+4.2pi" formula que vc apresentou logo na primeira linha. Além disso, ainda não entendi como vc chegou ao seno de zero. Poderia me explicar um pouquinho mais detalhado por favor?

[csmarceloMOD]

[tex3]\sin(\theta+k\cdot2\pi)=\sin\theta[/tex3], [tex3]\theta\in\mathbb{R}[/tex3], [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3], é uma identidade trigonométrica, ou seja, é verdade para quaisquer valores reais de [tex3]\theta[/tex3] e [tex3]k[/tex3].

Essa identidade deriva do fato da função seno possuir período [tex3]2\pi[/tex3].

Dizer que uma função real [tex3]f[/tex3] possui período [tex3]p[/tex3] - logo, é função periódica -, é dizer que [tex3]f(x)=f(x\pm kp)[/tex3], [tex3]x,p\in\mathbb{R}[/tex3], [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3]. E isso vale para qualquer função, não somente as trigonométricas.

Dito isso, se fizermos, [tex3]\theta=0^\circ[/tex3], então

[tex3]\sin(0^\circ+k\cdot2\pi)=\sin0^\circ[/tex3]

Repare que [tex3]0+4\cdot2\pi[/tex3] é justamente da forma [tex3]0^\circ+k\cdot2\pi[/tex3], onde [tex3]k=4[/tex3].

[csmarceloMOD]

Uma outra forma de verificarmos que [tex3]\sin1440^\circ=\sin0^\circ[/tex3] é perceber que este é a primeira determinação positiva daquele.

Se [tex3]\alpha[/tex3] é a primeira determinação positiva de [tex3]\beta[/tex3], então [tex3]\sin\alpha=\sin\beta[/tex3] e, nesse caso, o mesmo vale para todas as outras funções trigonométricas, ou seja, [tex3]\cos\alpha=\cos\beta[/tex3], [tex3]\tg\alpha=\tg\beta[/tex3], e por aí vai.

[Polímero17]

Muito obrigado csmarcelo!