Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica: Distância entre dois Pontos Tópico resolvido

[dettymp]

No plano cartesiano, os pontos [tex3](0,0),[/tex3] [tex3](3,3)[/tex3] e [tex3](7,-1)[/tex3] são vértices de um retângulo. O quarto vértice desse retângulo é:

a) [tex3](-4,4)[/tex3]
b) [tex3](3,-3)[/tex3]
c) [tex3](4,2)[/tex3]
d) ([tex3]4,-4)[/tex3]
e) [tex3](6,0)[/tex3]

[Thales Gheós]

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Distância [tex3]BC: D_{\small{BC}}^2=32[/tex3]

Distância [tex3]AB: D_{\small{AB}}^2=18[/tex3]

Distância [tex3]AD: D_{\small{AD}}^2=x^2+y^2[/tex3]

Distância [tex3]CD: D_{\small{CD}}^2=(7-x)^2+(-1-y)^2[/tex3]

• [tex3]D_{\small{BC}}^2=D_{\small{AD}}^2 \Rightarrow 32=x^2+y^2[/tex3]
  
  [tex3]D_{\small{AB}}^2=D_{\small{CD}}^2\Rightarrow 18=(7-x)^2+(-1-y)^2\Rightarrow x^2+y^2-14x+2y=-32[/tex3]

um sistema:

• [tex3]\begin{cases}x^2+y^2-14x+2y=-32\\
  x^2+y^2=32\end{cases}[/tex3]

subtraindo membro a membro:

• [tex3]14x-2y=64[/tex3] e substituindo na segunda:
  
  [tex3]\left(\frac{64+2y}{14}\right)^2+y^2=32\Rightarrow \frac{64^2+4y^2+256y}{14^2}+y^2=32\Rightarrow 200y^2+256y-2176=0[/tex3]

simplificando por [tex3]8[/tex3]

• [tex3]25y^2+32y-272=0\Rightarrow \sqrt{\triangle}=168[/tex3]
  
  [tex3]y=\frac{-32\pm168}{50}\Rightarrow \text y=-4 ou y=2,72[/tex3]
  
  [tex3]x=4 \text{ ou } x=1,9[/tex3]

o ponto que constitui o quarto vértice é apenas [tex3]D{(4,-4)}[/tex3]