Ensino Superior ⇒ Demonstração: Álgebra Linear | Vetores LI

[naallavoej]

Mostre que os vetores [tex3](a, b)[/tex3] e [tex3](c, d)[/tex3] de [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3] são linearmente independentes se, e somente se, [tex3]ad-bc \neq 0.[/tex3]

[lorramrj]

Se [tex3](a,b)[/tex3] e [tex3](c,d)[/tex3] são LI, então, podemos montar uma CL do vetor nulo.

[tex3]\gamma(a,b) + \beta(c,d) = (0,0) \rightarrow (\gamma.a+\beta.c, \gamma.b+\beta.d)=(0,0)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\gamma.a+\beta.c= 0 \\
\gamma.b+\beta.d =0
\end{cases}[/tex3]

Temos um sistema linear homogêneo, representando matricialmente:
[tex3]\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) . \left( \begin{array}{cc}
\gamma \\
\beta
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
0 \\
0
\end{array} \right)[/tex3]

Para o sistema ser possível e determinado, devemos ter determinante diferente de zero:
[tex3]det\left| \begin{array}{rcr}
a & c \\
b& d
\end{array} \right| \neq 0\rightarrow \boxed {ad-bc \neq0}[/tex3]