Concursos Públicos ⇒ questão livro aula por aula BENIGNO

[kamilly]

com n elementos iguais a x e 3 elementos iguais a y forma-se um total de 7n+7 permutações.então n vale:
a)8
b)7
c)6
d)5
E)4
a resposta é letra E

[fabit]

São (n+3) elementos ao todo, n deles de um tipo e 3 de outro.

São equivalentes: [tex3]P_{n+3}^{n;3}=C_{n+3}^n=C_{n+3}^3=\frac{(n+3)!}{n!3!}=\frac{(n+3).(n+2).(n+1)}{3.2.1}[/tex3].

Se essas permutações são em número de 7n+7, que equivale a 7(n+1), temos

[tex3]7\cancel{(n+1)}=\frac{(n+3).(n+2).\cancel{(n+1)}}{6}\Rightarrow42=n^2+5n+6\Rightarrow n^2+5n-36=0\Rightarrow(n+9)(n-4)=0[/tex3]

Valores possíveis -9 (que não dá) e +4 (que parece ser a resposta).

Prova real: 4 elementos de um tipo e 3 de outro formam os anagramas de XXXXYYY, que são [tex3]\frac{7.6.5}{3.2.1}=35[/tex3]. Ao mesmo tempo, 7n+7, para n=4, vale 35. Bateu!

n=4 letra E, cuja pronúncia é ÉÉÉÉ e não ÊÊÊ como o pessoal que mora por aqui ainda insiste.

Abraço

[NaianeNany]

Olá, poderia me explicar porque a equação equivale a 7(n+1)?

[fabit]

Bem, [tex3]7n+7=7(n+1)[/tex3] por causa da propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma. É isso que permite fatorar expressões algébricas.

Se você não fatorar, o parênteses [tex3](n+1)[/tex3] não será cancelado no momento certo e, como consequência, você vai ter que encarar uma equação polinomial cúbica no lugar de uma quadrática.

A simplificação é uma habilidade subvalorizada na escola. A maioria dos professores não propõe exercícios suficientes (por falta de tempo, estrutura, energia, ou uma combinação desses motivos) para que os alunos adquiram o hábito de caçar simplificações sempre que há oportunidade. Por exemplo, considere a equação quadrática [tex3]17x^2-51x+34=0[/tex3]. Tal como está, o discriminante é muito chato de lidar: [tex3]51^2-4\times17\times34[/tex3]. Mas se você puser 17 em evidência logo na equação original, melhora muito: [tex3]17(x^2-3x+2)=0[/tex3].

Aliás, de um tempo pra cá eu comecei a forçar meus alunos a fazer o discriminante assim...
[tex3]\Delta=51\times51-4\times17\times34[/tex3]
[tex3]\Delta=3\times17\times3\times17-4\times17\times2\times17[/tex3]
[tex3]\Delta=17^2(3\times3-4\times2)=17^2(9-8)=17^2\times1=17^2[/tex3]

Aí temos [tex3]x=\frac{51\pm\sqrt{17^2}}{2\times17}=\frac{3\times17\pm17}{2\times17}=\frac{\cancel{17}(3\pm1)}{2\times\cancel{17}}[/tex3]
[tex3]x=\frac{3\pm1}{2}\Rightarrow\begin{cases}
x_1=2 \\
x_2=1
\end{cases}[/tex3]

Fui claro?

Abs

[NaianeNany]

Que interessante, agora entendi, muito obrigada!