Ensino Médio ⇒ (PSC 2009) Números Complexos Tópico resolvido

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Considere o seguinte gráfico que representa o número complexo [tex3]z[/tex3]:

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Se [tex3]|z|=\sqrt{2}[/tex3], assinale a única alternativa CORRETA:

a) [tex3]z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3]
b) [tex3]z=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/tex3]
c) [tex3]z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3]
d) [tex3]z=-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i[/tex3]
e) [tex3]z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i[/tex3]

[Brunoranery]

Olá,
Passando para o primeiro quadrante subtraindo 120⁰ de 180⁰, temos 60⁰.
Assim montamos um triângulo retângulo com o cateto oposto sendo o número imaginário, o adjacente sendo o real e a hipotenusa sendo o módulo que é a raíz de 2.

Assim temos:
Sen60⁰ = [tex3]\frac{b}{|z|}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{\sqrt{2}}[/tex3]
b = [tex3]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3]

Cos60⁰ = [tex3]\frac{a}{|z|}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}[/tex3]
a = [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Como o número complexo é do formato Z = a + bi
Temos:
Z = [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i[/tex3]
No entanto, como tinhamos uma configuração no 2⁰ quadrante, o x é negativo, então o a também vai ser, logo:
Z = [tex3]-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i[/tex3] e ficamos com a letra b.