Ensino Superior ⇒ Trabalho realizado por um campo Tópico resolvido

[nerd2016]

Dado o campo de forças F(x,y) = (-y,x) calcule o trabalho realizado para dar uma volta completa no sentido anti-horário no círculo x^2 + y^2 =1

[mateusITA]

Seja [tex3]\vec{\alpha}(t) [/tex3] a representação paramétrica da curva [tex3]x^2+y^2=1[/tex3]. Uma possível função vetorial que representa a curva seria:

[tex3]\vec{\alpha}(t)=\left(cos(t),sen(t)\right),[/tex3] [tex3]t\in \left[0,2\pi\right][/tex3]

O trabalho realizado por um campo de forças [tex3]\vec{F}[/tex3] em uma partícula que se move ao longo de uma curva [tex3]\vec{\alpha}(t) [/tex3] é definido como

[tex3]W=\int\vec{F}\cdot d\vec{\alpha}[/tex3]
[tex3]W=\int\limits_{0}^{2\pi}\vec{F}\left[\vec{\alpha}(t)\right]\cdot \vec{\alpha}'(t)dt[/tex3]

[tex3]\vec{F}\left[\vec{\alpha}(t)\right]\cdot \vec{\alpha}'(t)=\left(-sen(t),cos(t)\right)\cdot\left(-sen(t),cos(t)\right)=1[/tex3]

[tex3]W=\int\limits_{0}^{2\pi}\vec{F}\left[\vec{\alpha}(t)\right]\cdot \vec{\alpha}'(t)dt[/tex3]
[tex3]W=2\pi[/tex3]

Outra forma de resolver seria pelo Teorema de Green (caso particular do Teo. de Stokes) segundo o qual:

[tex3]\oint\limits_{C}Pdx+Qdy=\iint\limits_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy[/tex3]

onde a curva C é percorrida no sentido anti-horário e R é a região limitada pela curva C.

Nesse caso, a solução seria imediata:

[tex3]\oint\limits_{C}-ydx+xdy=\iint\limits_{R}\left(1-(-1)\right)dxdy=2\iint\limits_{R}dxdy=2\pi[/tex3]

onde [tex3]\iint\limits_{R}dxdy[/tex3] é a área de um círculo de raio 1.

Para ver mais detalhes do Teorema de Green (por exemplo, a curva tem que ser de Jordan, etc) e do Teorema de Stokes, dá uma olhada no volume 2 do Calculus: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra ... do Tom Apostol. Espero ter ajudado...