Ensino Médio ⇒ (PSC 2005) Números Complexos

[12345]

51) O número complexo [tex3]1 + i[/tex3] é raiz do polinômio [tex3]p(x)=x^3 + ax^2 + bx + 1[/tex3], em que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais. Então: [tex3]\frac{P(i)}{1-i}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{5}{2} \cdot (1-i) [/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{2} \cdot (1+i) [/tex3]
c) [tex3]\frac{5}{4} \cdot (1-i) [/tex3]
d) [tex3]\frac{5}{4} \cdot (1+i) [/tex3]
e) [tex3]-\frac{5}{4} \cdot (1+i) [/tex3]

[PedroCunha]

Bom dia!

Se [tex3]1+i [/tex3] é raiz de [tex3]p(x) [/tex3]:

[tex3]

p(1+i) = 0 \therefore (1+i)^3 + a \cdot (1+i)^2 + b \cdot (1+i) + 1 = 0 \therefore 2 \cdot (i-1) + a \cdot 2i + b \cdot (1+i) + 1 = 0 \therefore \\\\ 2i - 2 + 2a \cdot i + b + i \cdot b + 1 = 0 \therefore (b-1) + i \cdot (2a+b+2) = 0

[/tex3]

Portanto:

[tex3]

\begin{cases}

b-1 = 0 \therefore b = 1 \\
2a+b+2 = 0 \therefore a = -\frac{2+b}{2} = -\frac{2+1}{2} = -\frac{3}{2}

\end{cases}

[/tex3]

Note agora que:

[tex3]

\frac{P(i)}{1-i} = \frac{i^3 + a \cdot i^2 + b \cdot i + 1}{1-i} = \frac{-i - a + b \cdot i + 1}{1-i} = \frac{(1-a) + i \cdot (b-1)}{1-i} = \frac{(1-a) + i \cdot (b-1)}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \\\\ \frac{(1-a) + i \cdot (b-1) + i \cdot (1-a) + i^2 \cdot (b-1)}{1^2 - i^2} = \frac{(1-a-b+1) + i \cdot (b-1+1-a)}{2} = \frac{-(a+b-2) + i \cdot (b-a)}{2}

[/tex3]

Logo:

[tex3]

\frac{P(i)}{1-i} = \frac{-\left(-\frac{3}{2}+1-2\right) + i \cdot \left(1 - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)}{2} = \frac{\frac{5}{2} + i \cdot \frac{5}{2}}{2} = \boxed{\boxed{ \frac{5}{4} \cdot (1 + i) }}

[/tex3]

Alternativa d

Abraços,
Pedro.