IME / ITA ⇒ (IME - 2008) Sistema de Equações Exponenciais

[Alexandre_SC]

Assinale a opção correspondente aos valores de K para os quais o sistema de equações dado por:

[tex3]\begin{cases}e^x+e^y = e^{x+y}\\x+y = K\end{cases}[/tex3]

admite solução real.

A) 0 ≤ K ≤2
B) 0 ≤ K ≤ln 2
C) K ≥[tex3]e^{-2}[/tex3]
D) K > ln 4
E) 0 ≤ K ≤ 1

[Alexandre_SC]

a minha resposta para esse não fechou com as opções fornecidas:

[tex3]e^x+e^y = e^x\cdot e^y[/tex3]

[tex3]e^y \gt 0 \Right e^x \lt e^x \cdot e^y \Leftrightarrow e^y \gt 1[/tex3]

analogamente

[tex3]e^x \gt 0 \Right e^y \lt e^x\cdot e^y \Leftrightarrow e^x \gt 1[/tex3]

[tex3]x+y\gt 0[/tex3]

outra condição


[tex3]e^{x}+e^{y} \gt 2[/tex3]

consequentemente
[tex3]e^{x+y} \gt 2[/tex3]

[tex3]x+y \gt ln 2[/tex3]

[Auto Excluído (ID:17906)]

Se substituirmos a equação por [tex3]x[/tex3], sendo [tex3]x=k-y[/tex3], teremos:
[tex3]e^{k-y}+e^{y}=e^{k}[/tex3];
[tex3]\frac{e^{k}}{e^{y}}+e^{y}=e^{k}[/tex3];
[tex3]e^{2y}-e^{k}.e^{y}+e^{k}=0[/tex3].
Substituindo [tex3]e^{y}[/tex3] por [tex3]a[/tex3], teremos:
[tex3]a^{2}-e^{k}.a+e{k}=0[/tex3].
Se resolvermos a equação do segundo grau tendo como condição de existência delta maior ou igual a 0, teremos:
[tex3]e^{2k}-4.e^{k}≥0[/tex3];
[tex3]e^{k}≥4[/tex3].
Consequentemente [tex3]k≥In4[/tex3].