Olimpíadas ⇒ Primos e diferença de cubos Tópico resolvido

[Miliotta]

Determinar todos os pares de números primos [tex3](p,q)[/tex3] tais que
[tex3]p^3-q^3=pq^3-1[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

p³+1 = q³(p+1)
p²-p + 1 = q³
p(p-1) = (q-1)(q²+q+1)

se p divide q-1 então p-1 divide q²+q+1

q= kp+1, como q>0 kp >-1 logo k>0
q² +q + 1 = k²p²+2kp + 1 + kp+1+1 = 3 + 3kp + k²p² = 3 + 3k(p-1) + 3k + k²(p²-1) + k²
logo p-1 divide 3 + 3k + k² = 3 + k(k+3)
o absurdo é que 3 + k(k+3) é sempre ímpar e p-1 será par se p não for 2.
Se p=2 teremos q³ = 4-2+1 = 3, absurdo.

então p divide q²+q+1 e q-1 divide p-1.
Acho que sai por força bruta, mas vou pensar mais um pouco nesse problema

[Miliotta]

Obrigada sousóeu, mas então, como ele termina ...?

[Auto Excluído (ID:12031)]

veja se você concorda
q-1 divide p-1 e p divide q²+q+1

p-1 = k(q-1) , assumindo p e q >1 k>0
como
p | q² + q - 1
p | (q-1)^2 + 2q -2 + (q-1) + 3
p | (q-1)^2 + 3(q-1) + 3
p | (p-1)(q-1) + 3(p-1) + 3k
p | 1-q + -3 + 3k
p | 3k - q -2
p | 3k² -(p-1) -k
p | 3k² - k +1

acho que está melhor

[Miliotta]

mmm.. por quê [tex3]p|q^2+q-1 [/tex3]?
é [tex3]p|q^2+q+1 [/tex3]

[Ittalo25MOD]

[tex3]p^3-q^3=pq^3-1[/tex3]
[tex3]p^3+1=pq^3+q^3[/tex3]
[tex3](p+1) \cdot (p^2-p+1)=q^3 \cdot (p+1)[/tex3]
[tex3]p^2-p=q^3-1 [/tex3]

Disso sai que [tex3]p|q^3-1 [/tex3]

Então: [tex3]q^3 = kp+1 [/tex3]

[tex3]p^3-q^3=pq^3-1[/tex3]
[tex3]p^3-(kp+1)=p\cdot (kp+1)-1[/tex3]
[tex3]p^2-kp-k-1=0[/tex3]
[tex3]p = \frac{k \pm \sqrt{k^2- 4\cdot 1 \cdot (-k-1)}}{2}[/tex3]
[tex3]p =k+1[/tex3]
[tex3]q^3 = k^2+k+1 [/tex3]

Lema: Todo primo maior que 3 é [tex3]1 \mod(6)[/tex3] ou [tex3]5 \mod(6)[/tex3]

2 e 3 não dão solução...

Se [tex3]k \equiv 4 \mod(6)[/tex3], então [tex3]q^3 \equiv 21 \equiv 3 \mod(6)[/tex3], absurdo.
Então [tex3]k \equiv 0 \mod(6)[/tex3]

E os primos são da forma:

[tex3]\begin{cases}
p=6a+1 \\
q^3=36a^2+6a+1
\end{cases}[/tex3]

[Miliotta]

Obrigada Ittalo25, mas não entendi corretamente...
A partir de [tex3]p^2-kp-k-1=0 [/tex3] é claro que [tex3]p|k+1 [/tex3] ou
[tex3]p\le k+1 [/tex3]
Por que você diz que [tex3]p=k+1 [/tex3]?
Então, meu livro diz que existe apenas uma solução ou [tex3](19,7)[/tex3]
Por quê?

[Ittalo25MOD]

Obrigada Ittalo25, mas não entendi corretamente...
A partir de [tex3]p^2-kp-k-1=0 [/tex3] é claro que [tex3]p|k+1 [/tex3] ou
[tex3]p\le k+1 [/tex3]
Por que você diz que [tex3]p=k+1 [/tex3]?
Então, meu livro diz que existe apenas uma solução ou [tex3](19,7)[/tex3]
Por quê?

Resolvendo a equação do segundo grau em "p": [tex3]p^2-kp-k-1=0[/tex3]
Sai que [tex3]p = k+1 [/tex3]

Mas eu só mostrei que p e q são primos da forma 6t+1

Não resolve nada é só uma observação

[Superaks]

Temos que

p³ - q³ = pq³ - 1

p³ + 1 = pq³ + q³

(p + 1)(p² - p + 1) = q³(p + 1)

Como p != - 1, temos

p² - p + 1 = q³

p . (p - 1) = (q - 1)(q² + q + 1)

Note que se p <= - 2, então p . (p - 1) > 0, pois teriamos o produto de dois números negativos. Com isso, também concluímos que q -1 tem que ser positivo, pois q² + q + 1 é positivo para todo q real, veja.

y = q² + q + 1

D = 1² - 4 . 1 .1 = - 3

A discriminante de q² + q + 1 é negativa, logo, para qualquer valor de q real, devemos ter valores positivios. Assim, para p <= - 2, temos q - 1 > 0 ---> q > 1.

Se p >= 2, então p . (p - 1) é positivo e com isso concluímos que q - 1 também é. Logo, q > 1

Agora note que, se p <= - 2, temos:

|p| = - p ---> p = - |p|

p . (p - 1) = - |p| . (- |p| - 1) = |p| . (|p| + 1) > 0

Se p >= 2

p . (p - 1) > 0

Ou seja, o lado esquerdo sempre será o produto de dois números consecutivos e positivos, então posso supor que p >= 2

Note que por contrução devemos ter p > q, se não o lado direito seria maior que o esquerdo (isso é fácil de visualizar)

Temos também que

q - 1 | p . (p - 1)

Mas p > q ---> p > q - 1

Então p não pode ser fator de q - 1, e como p é primo, temos:

mdc(p, q - 1) = 1

Logo,

q - 1 | p - 1

Então existe um inteiro positivo k tal que

p - 1 = k . (q -1)

Note também que

p | (q - 1)(q² + q + 1)

Mas p > q - 1, então p | q² + q + 1

Mas p = kq - k + 1

kq - k + 1 | q² + q + 1 ----> kq - k + 1 | k . (q² + q + 1) - q(kq - k + 1)

kq - k + 1 | 2kq + k - q ----> kq - k + 1 | 2kq + k - q - 2 . (kq - k + 1)

kq - k + 1 | 3k - 2 - q ------> kq - k + 1 | k . (3k - 2 - q) + (kq - k + 1)

kq - k + 1 | 3k² - 3k + 1


Como k e q são inteiros positivios, temos que kq - k + 1 > 0

Calculando a discriminante de 3k² - 3k + 1

D = 9 - 4 . 3 . 1 = - 3

Então 3k² - 3k + 1 > 0

Logo, como kq - k + 1 divide 3k² -3k + 1 e ambos são positivos, então devemos ter

kq - k + 1 <= 3k² - 3k + 1

kq - k <= 3k² - 3k

q - 1 <= 3k - 3

(q + 2)/3 <= k

Mas, k = (p - 1)/(q - 1)

(q + 2)/3 <= (p - 1)/(q - 1)

q² + q - 2 <= 3p - 3

q² + q + 1 <= 3p

Mas lembrando que

Ágora note que para p = 3 ou q = 3 não teremos soluções.

Aplicando congruência mod 3 e usando o teorema de Fermat

p³ - q³ _= pq³ - 1 (mod 3)

p - q - pq + 1 _= 0 (mod 3)

(q - 1)(p + 1) _= 0 (mod 3)

Se 3 | p + 1

p. (p - 1) = q³ - 1

2 _= q³ - 1 (mod3)

0 _= q³ (mod 3)

Absurdo pois q é diferente de 3, então 3 | q - 1

q² + q + 1 _= 1 + 1 + 1 _= 0 (mod 3)

Logo, 3 | q² + q + 1

Então 3p | q² + q + 1

3p <= q² + q + 1 <= 3p

Portanto,

q² + q + 1 = 3p

Temos que:

p . (p - 1) = (q - 1) . 3p

p - 1 = 3q - 3

p = 3q - 2

Logo,

p . (p - 1) = (3q - 2) . (3q - 3) = (q - 1)(q² + q + 1)

9q - 6 = q² + q + 1

q² - 8q + 7 = 0

(q - 1)(q - 7) = 0

Então q = 7

Achando p

p = 3q - 2 = 3 . 7 - 2 = 19

Portanto temos somente uma solução

(p, q) = (19, 7)

[Auto Excluído (ID:12031)]

há um jeito mais rápido:

p>q
p-1 = k(q-1)
pk = q² + q +1
k(1+k(q-1)) = q² + q +1
q² + q(1-k²) +1-k+k²=0
o discriminante é
[tex3](k²-3)^2 \leq (1-k²)^2-4(1-k+k²) < (k²-1)^2[/tex3]
de onde só podemos ter [tex3](k²-3)^2 = (1-k²)^2-4(1-k+k²)[/tex3] ou [tex3](k²-2)^2 = (1-k²)^2 - 4(1-k+k²)[/tex3]
testando vemos que só o esquerdo dá solução. [tex3]k=3[/tex3]
logo [tex3]q^2 -8q + 7=0 \iff (q-4)^2 = 9 \iff q =1[/tex3] ou [tex3]q=7[/tex3]
[tex3]p-1 = 3 \cdot 6 \iff p=19[/tex3]