IME / ITA ⇒ (ITA - 2001) Trigonometria: Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[Natan]

Sendo [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que [tex3]\sen^{2}2 \beta - 2 \cos 2 \beta =0[/tex3], então [tex3]\sen \alpha[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{\sqrt2}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt[4]{2}}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt[4]{8}}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt[4]{8}}{4}[/tex3]
e) [tex3]\text{zero}[/tex3]

[triplebig]

Reescrevendo, e chamando [tex3]\cos2\beta\,=\,k[/tex3]:

[tex3]\hspace{50pt} \text{sen}^{2}2 \beta\, -\, 2 cos 2 \beta\, =\,0[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}1\,-\,k^2\,-\,2k\,=\,0\Longrightarrow\begin{cases} k\,=\,-1\,+\,\sqrt{2}\, \\ k\,=\,-1\,-\,\sqrt{2}\,\,\Rightarrow\,\,\text{menor do que -1}\end{cases}[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}2\cos^2\beta\,-\,1\,=\,-1\,+\,\sqrt{2}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\cos^2(90\,-\,\alpha)\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}\text{sen}\alpha\,=\,\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}\,=\,\frac{\sqrt[4]{8}}{2}[/tex3]


Letra [tex3]\boxed{D}[/tex3]

[snooplammer]

Irei apresentar uma solução pois a que o colega triplebig apresentou está bugada

[tex3]\text{sen}^{2}2 \beta - 2 cos 2 \beta =0[/tex3]

[tex3]1-\cos^2 2\beta-2\cos 2\beta=0[/tex3]

[tex3]\cos 2\beta=\sqrt{2}-1[/tex3] é a única solução que serve

[tex3]\cos \beta=\sen \alpha[/tex3] pois os ângulos são complementares

[tex3]\cos 2\beta=2\cos^2\beta -1[/tex3]

[tex3]\sqrt{2}-1=2\cos^2\beta-1[/tex3]

[tex3]\cos \beta=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}=\sen \alpha[/tex3]