IME / ITA ⇒ (ITA - 2000) Geometria Analítica: Área de um Triângulo Tópico resolvido

[B005]

A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos [tex3]A(2,1)[/tex3] e [tex3]B(3,-2)[/tex3]. Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são:

a) [tex3]\(\frac{-1}{2},0\)[/tex3] ou [tex3](5,0)[/tex3]
b) [tex3]\(\frac{-1}{2},0\)[/tex3] ou [tex3](4,0)[/tex3]
c) [tex3]\(\frac{-1}{3},0\)[/tex3] ou [tex3](5,0)[/tex3]
d) [tex3]\(\frac{-1}{3},0\)[/tex3] ou [tex3](4,0)[/tex3]
e) [tex3]\(\frac{-1}{5},0\)[/tex3] ou [tex3](3,0)[/tex3]

[Natan]

Pela geometria analítica sabemos que podemos encontrar a área de um triângulo pela metade do módulo do determinante obtido da matriz formada pelos vértices desse triângulo. Como foi dito que o terceiro vértice está sobre o eixo [tex3]x,[/tex3] então sua ordenada é nula, logo o ponto tem a forma [tex3](x,0),[/tex3] assim:

[tex3]\frac{\left|\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \\ x & 0 & 1 \end{array}\right|\right|}{2}=4[/tex3]

após os cálculos chegaremos na equação modular:

[tex3]|3x-7|=8[/tex3], daí:

[tex3]3x-7=8[/tex3], nesse caso [tex3]x=5[/tex3] ou [tex3]3x-7=-8[/tex3], ai [tex3]x=-\frac{1}{3}[/tex3].

logo o vértice procurado será: [tex3](5, 0)[/tex3] ou [tex3]\(-\frac{1}{3},\, 0\)[/tex3], letra "c".

vlw!

[B005]

Vlw,Natan!É essa mesmo a resposta.

[thetruthFMA]

Como saber a ordem dos pontos no determinante?

[GiovanaMSPMOD]

A ordem dos pontos não importa, thetruth. O que se mantém é a última coluna com 1 que é da própria "fórmula".

[cajuADMIN]

Olá @thetruthFMA.

Só pra expandir um pouco mais a explicação da colega @GiovanaMSPMOD, vou dar meus 10 centavos.

Como estamos tratando de um determinante, podemos utilizar as propriedades de determinantes para entender. Sempre que modificamos a ordem de uma linha ou de uma coluna em uma matriz, o valor do seu determinante continuará tendo o mesmo valor em módulo, mas o sinal irá inverter.

Ou seja, como estamos calculando a área do triângulo, só nos interessa um valor positivo! Por isso que a fórmula pede para calcularmos o determinante EM MÓDULO. Assim, não interessa a ordem que as linhas se encontrarão, pois apenas o sinal irá mudar, e nós só pegaremos o valor em módulo de qualquer forma

Grande abraço,
Prof. Caju