Ensino Médio ⇒ (FME) Ângulos na Circunferência Tópico resolvido

[MatheusBorgesMOD]

Determine as medidas dos ângulos de um triângulo, obtidos pelos pontos de tangência do círculo inscrito com os lados de um triângulo ABC , sendo [tex3]\hat A=60^{\circ}, \hat C=80^{\circ}, \hat B=40^{\circ}[/tex3]

Resposta

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[tex3]70^{\circ}, 60^{\circ},90^{\circ}[/tex3]

[csmarceloMOD]

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O gabarito está incorreto.

[tex3]\hat{B}[/tex3] é um ângulo excêntrico exterior em relação à circunferência. Portanto, [tex3]m(\hat{B})=\frac{m(\widehat{EFG})-m(\widehat{EHG})}{2}[/tex3], ou seja, [tex3]\frac{m(\widehat{EFG})-m(\widehat{EHG})}{2}=80^\circ\rightarrow m(\widehat{EFG})-m(\widehat{EHG})=160^\circ[/tex3].

Temos também que [tex3]m(\widehat{EFG})+m(\widehat{EHG})=360^\circ[/tex3]

[tex3]\begin{cases}m(\widehat{EFG})-m(\widehat{EHG})=160^\circ\\m(\widehat{EFG})+m(\widehat{EHG})=360^\circ\end{cases}\rightarrow\begin{cases}m(\widehat{EFG})=260^\circ\\m(\widehat{EHG})=100^\circ\end{cases}[/tex3]

Agora, repare que [tex3]\epsilon[/tex3] é um ângulo inscrito na circunferência que determina [tex3]\widehat{EHG}[/tex3]. Logo, [tex3]m(\epsilon)=\frac{m(\widehat{EHG})}{2}=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ[/tex3]

Os outros ângulos são [tex3]60^\circ[/tex3] e [tex3]70^\circ[/tex3].

[petrasMOD]

Realmente o gabarito está incorreto.

Outra maneira aproveitando a resolução do csmarcelo:

[tex3]\frac{m(\widehat{EFG})-m(\widehat{EHG})}{2}=80^\circ\rightarrow m(\widehat{EFG})-m(\widehat{EHG})=160^\circ \rightarrow 360^o-m(\widehat{EHG})-m(\widehat{EHG})=160^o\rightarrow \\\ m(\widehat{EHG})=100^o\rightarrow m(\epsilon)=\frac{m(\widehat{EHG})}{2}=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ[/tex3]

Os outros são calculados de forma análoga,

[MatheusBorgesMOD]

Ficou confuso o enunciado ele tinha me dado os ângulos do triângulo e estava pedindo os valores deles. Agora com o esboço deu pra visualizar melhor. Muito obrigado!