IME / ITA ⇒ (AFA - 1998) Geometria Analítica: Reta Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A reta [tex3](s),[/tex3] simétrica de [tex3](r): x-y + 1 = 0[/tex3] em relação à reta [tex3](t): 2x + y + 4 = 0 ,[/tex3]

a) passa pela origem.
b) forma um ângulo de [tex3]60^\circ[/tex3] com [tex3](r).[/tex3]
c) tem [tex3]{-}\frac{1}{5}[/tex3] como coeficiente angular.
d) é paralela à reta de equação [tex3]7y - x + 7 = 0.[/tex3]

Resposta:

---

(d)

[Natan]

De acordo com a figura a solução do problema é a reta [tex3]s,[/tex3] que passa pelos pontos [tex3]B[/tex3](simétrico de [tex3]A[/tex3] em relação a reta [tex3]t[/tex3]) e [tex3]C[/tex3](intercção das retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]t[/tex3]).

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Ponto [tex3]C[/tex3], intercção de [tex3]r[/tex3] e [tex3]t[/tex3]:

[tex3]\begin{cases} 2x+y=-4 & \\ x-y=-1 \end{cases}[/tex3]

Logo, [tex3]C\left(-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}\right)[/tex3].

Escolha do ponto A qualquer da reta r, distinto do ponto [tex3]C[/tex3]:
fazendo [tex3]x=0,[/tex3] temos: [tex3]x-y+1=0[/tex3] daí [tex3]0-y+1=0[/tex3] então [tex3]y=1[/tex3], logo [tex3]A(0, 1).[/tex3]

Equação da reta [tex3]\ell[/tex3] perpendicular a [tex3]t[/tex3]:

[tex3]m_{1}=-2[/tex3]=coeficiente angular de [tex3]\ell[/tex3]
[tex3]m_{2}=\frac{1}{2}[/tex3]=coeficiente angular de [tex3]t[/tex3](achamos [tex3]m_{2}[/tex3] pelo fato de que o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a [tex3]{-}1).[/tex3]

reta [tex3]\ell :[/tex3]

[tex3]y-1=\frac{1}{2}(x-0)[/tex3]

[tex3]x-2y+2=0[/tex3]

Coordenadas do ponto M, intercção das retas [tex3]\ell[/tex3] e [tex3]t:[/tex3]

[tex3]\begin{cases} x-2y=-2 \\ 2x+y=-4 \end{cases}[/tex3]

Logo, [tex3]M(-2, 0)[/tex3].

Coordenadas de [tex3]B,[/tex3] simétrico de [tex3]A[/tex3] em relação à reta [tex3]t:[/tex3]

[tex3]\frac{x_{b}+0}{2}=-2[/tex3] logo [tex3]x_{b}=-4[/tex3]

[tex3]\frac{1+y_{b}}{2}=0[/tex3] logo [tex3]y_{b}=-1[/tex3]

logo, [tex3]B(-4, -1)[/tex3]

Equação da reta [tex3]s,[/tex3] que passa por [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3]:

[tex3]\left|\begin{array}{cccc} x & y & 1 \\ -4 & -1 & 1 \\ -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \end{array}\right|=0[/tex3]

A equação da reta procurada é [tex3]x-7y+3=0[/tex3], que é paralela a reta citada na letra "d".

Ufa!, mais q raio de questão, pobri diabos os que fizeram essa prova!