Pré-Vestibular ⇒ Equação de Segundo Grau e Módulo (FUVEST) Tópico resolvido

[Oziel]

Quaisquer que sejam os números reais a, b e c pode-se afirmar que a equação [tex3]ax^{2}[/tex3] + b|x| + c = 0 :

a) Tem, no máximo, duas raízes reais distintas.

b) Tem, no máximo, quatro raízes reais distintas.

c) Tem pelo menos uma raiz real.

d) Não possui raízes reais.

e)n.r.a.

Fiz assim :

a|[tex3]x^{2}[/tex3]| + b|x| + c = 0, suponho |x| = y .

Por soma e produto : [tex3]y^{2}[/tex3] + y = [tex3]\frac{-b}{a}[/tex3] ou [tex3]y^{2}[/tex3] * y = [tex3]\frac{c}{a}[/tex3].

y = [tex3]\frac{-b}{a}[/tex3] ou y = [tex3]\frac{-(b+a)}{a}[/tex3](Não entra, pois, |x| [tex3]\geq [/tex3] 0)

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Minha resposta deu a).

Obs: Não tenho o gabarito.

[alevini98]

Acredito que tenha escrito a equação errado lá em cima, pois faltou o [tex3]x^2[/tex3].

Veja que como o módulo está apenas em x, e não em toda a função, então o gráfico da função rebate em relação ao eixo y. Se pensarmos um pouco, já é possível perceber que a função poderá ter 1, 2, 3, 4 raízes ou mesmo nenhuma, pois isso depende dos valores de a, b e c.

Não sei se tem como demonstrar isso com cálculo, vou pensar ainda. Mas o ideal seria imaginar o gráfico da função, sendo que como a, b e c são valores quaisquer poderá mover a função livremente. Imagine o gráfico, mas sempre rebatendo em relação ao eixo y.

[petrasMOD]

Essa questão foi adaptada da Fuvest pois a alternativa e original seria "e) tem sempre raízes distintas" o que tornou a questão anulada pois todas seriam falsas. Dessa forma adaptada que foi postada o gabarito será a letra e.

Como a, b e c podem assumir qualquer valores poderemos ter;

Se a=b=c=0, [tex3]\rightarrow 0x^2+0|x|+0=0 [/tex3] infinitas raízes, já eliminamos a) e b)

c) Se a=1, b=0 e c=1, teríamos x²+1=0, que não tem raízes reais.

d) Se a=1, b =0 e c =-4 [tex3]\rightarrow x^2-4 = 0 \rightarrow x =2\ ou\ x=-2[/tex3]

[Oziel]

Acredito que tenha escrito a equação errado lá em cima, pois faltou o [tex3]x^2[/tex3].

Veja que como o módulo está apenas em x, e não em toda a função, então o gráfico da função rebate em relação ao eixo y. Se pensarmos um pouco, já é possível perceber que a função poderá ter 1, 2, 3, 4 raízes ou mesmo nenhuma, pois isso depende dos valores de a, b e c.

Não sei se tem como demonstrar isso com cálculo, vou pensar ainda. Mas o ideal seria imaginar o gráfico da função, sendo que como a, b e c são valores quaisquer poderá mover a função livremente. Imagine o gráfico, mas sempre rebatendo em relação ao eixo y.

Erro corrigido.

[Oziel]

Essa questão foi adaptada da Fuvest pois a alternativa e original seria "e) tem sempre raízes distintas" o que tornou a questão anulada pois todas seriam falsas. Dessa forma adaptada que foi postada o gabarito será a letra e.

Como a, b e c podem assumir qualquer valores poderemos ter;

Se a=b=c=0, [tex3]\rightarrow 0x^2+0|x|+0=0 [/tex3] infinitas raízes, já eliminamos a) e b)

c) Se a=1, b=0 e c=1, teríamos x²+1=0, que não tem raízes reais.

d) Se a=1, b =0 e c =-4 [tex3]\rightarrow x^2-4 = 0 \rightarrow x =2\ ou\ x=-2[/tex3]

Então nesta questão não há resposta correta ?

[petrasMOD]

Letra e ) n.r.a como já expliquei.

[alevini98]

Realmente não pensei na possibilidade [tex3]a=b=c=0[/tex3].

[MakiseKurisu]

Petras, poderia demonstrar a letra (e) não adaptada da Fuvest? (Caso "e) tem sempre raizes distintas"

[petrasMOD]

MakiseKurisu,
Condição de duas raízes reais e iguais: delta =0
[tex3]\Delta = 0\rightarrow b^2-4ac=0 \rightarrow b^2 = 4ac\\
Seja~b=2, a=c = 1\rightarrow x^2+2x+1=0\\x_1=x_2=-1
[/tex3]

[MakiseKurisu]

Isso n seria para caso houvessem sempre raizes iguais? A letra e diz respeito às distintas.